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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Partial integration on surfaces
[chap:SurfaceIntegration]


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We begin with the definition of differential operators on surfaces, where in this chapter  M  always is a surface in the EUKLIDean space. We shall make use the notion of a "directional derivative" from definition:7-2: If  f:M → Rl  then  ∂v f(x)  denotes the directional derivative of  f  in direction  v ∈Tx(M) . Using directional derivatives differentiability on a surface  M  can be defined without using local coordinates. An equivalent definition is the differentiability in local coordinates. We present both definitions and prove their equivalence.

Next we want to define differential operators on surfaces. As motivation let us mention the following about known differential operators on open sets in  Rn : This leads to the following definition of some basic operators on surfaces:

Definition (Differential operators on surfaces)    [definition:8-2]
Let  M  be a  m -dimensional  C1 -surface in  Rn .
  • [definition:8-2-(1)] For continuously differentiable functions  g : M → R  the gradient on  M  is defined by
    ∇Mg(x) :=
    m
    ∑
    i=1
    		 ∂τi g(x) τi ,
    where  {τ1,...,τm }  is an orthonormal basis of  Tx(M) .
  • [definition:8-2-(2)] For continuously differentiable vector fields  f : M → Rn  the divergence on  M  is defined by
    div M f(x) :=
    m
    ∑
    i=1
    		 τi •∂τi f(x),
    where  {τ1,...,τm}  again is an orthonormal basis of  Tx(M) .
  • [definition:8-2-(3)] Assume that  ∇Mg : M → Rn  is continuously differentiable, then the LAPLACE-BELTRAMI operator on  M  is defined by
    ΔM g :=   div M(∇M g).
Remark: The definitions in definition:8-2-(1) and definition:8-2-(2) do not depend on the choice of the orthonormal basis. This follows as in the EUKLIDean case  Rn .

Differential operators on surfaces have a representation in each local coordinate system. From this one obtains a transformation rule between different coordinate systems.

We begin with a local representation of first order operators.

After these preparations we are ready to formulate the main theorem of this chapter, the GAUSS theorem on surfaces. As motivation the following example: This example shows, that during integrating by parts on a surface a curvature term occurs. This term always is present for non-tangential vector fields. The general formula for integration by parts is:

GAUSS theorem on surfaces    [satz:8-5]
Let  M⊂Rn  be a  m -dimensional  C2 -surface,  1≦m≦n , and assume that
  • [satz:8-5-(i)]  Ω⊂M  is a relative open subset, such that  clos(Ω)⊂M  is compact, and such that  ∂MΩ:=clos(Ω)∖Ω  consists, up to a closed  Hm-1 -null set, of a  C1 -boundary (defined in den local coordinats).
  • [satz:8-5-(ii)]  f:clos(Ω) → Rn  is continuous, differentiable on  Ω  and   div (f)  is  Hm -integrable.
Then the following formula holds:
 
∫
Ω
 ( div M(f)+f•κ) dHm =
 
 
∫
∂MΩ
 f•νΩ dHm-1  .
Notation: Here, for  x∈M , the vector  κ(x)∈Tx(M)⊥  is the curvature vector of  M  in  x  (see sect:8-6), and for  x∈∂MΩ  the vector  νΩ(x)∈Tx(M)  is the unit outer normal of  Ω  in  x . This unit normal is determined by the properties
|νΩ(x)| = 1 and v•νΩ(x)≦0 für alle v∈Tx(clos(Ω)) .
Notice: In the theorem the surface  M  needs not to be orientable. For example, a MÖBIUS strip is allowed.

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Spezialfall 1
Wenn  f  ein tangentiales Vektorfeld ist, d.h.  f(x)∈Tx(M)  für  x∈Ω , dann lautet die Aussage des Satzes:
 
∫
Ω
 div (f)dHm=
 
 
∫
∂MΩ
 f•νΩ dHm-1.

Spezialfall 2
Sei  M  kompakt.Wenn man  Ω:=M  setzt, so ist  ∂MΩ=∅ , und der Satz lautet:
 
∫
M
 ( div (f)+f•κ )  dHm=0.
Es folgt die Definition des in Satz satz:8-5 auftretenden Krümmungsvektors.

Krümmung einer Fläche    [sect:8-6]
Sei  M⊂Rn  eine  m -dimensionale  C2 -Fläche mit lokaler Parametrisierung  γ . Ferner benutzen wir die Bezeichnungen aus definition:8-4 für die Matrizen  (gij)i,j ,  (gij)i,j  und für  g . Sei  x=γ(y)∈M .
  • [sect:8-6-(1)] Die orthogonale Projektion  Px:Rn → Tx(M)  hat die Darstellung
    Px(v)=
     
    ∑
    i,j
    		 v•∂iγ(y) gij(y)∂j γ(y).
  • [sect:8-6-(2)] Eine bilineare Abbildung
    Bx:Tx(M)×Tx(M) → Tx(M)⊥
    ist gegeben durch
    Bx(τ1,τ2):=( Id -Px)D2γ(y)(Dγ(y)-1τ1, Dγ(y)-1τ2).
    Für in einer Umgebung von  x  definierte  C1 -Tangentialfelder  x̃ |→ τ(x̃),τ̃(x̃)  gilt
    Bx(τ(x),τ̃(x))=( Id -Px)∂τ(x)τ̃(x) = ( Id -Px)∂τ̃(x)τ(x).
    Die zweite Darstellung zeigt, dass die Definition von  Bx  unabhängig von der Parametrisierung ist, und dass der Normalanteil von  ∂τ1τ2  symmetrisch in den Tangentialfeldern  τ1,τ2  ist.
  • [sect:8-6-(3)] Der Krümmungsvektor von  M  in  x  ist definiert durch
    κ(x):= spur (Bx) =
    m
    ∑
    k=1
    		 Bx(τk,τk)
    für jede Orthonormalbasis  {τ1,...,τm}  von  Tx(M) . Er hat die Darstellungen
    κ(x) = ( Id -Px)(
     
    ∑
    i,j
    		 gij∂ij γ)(y) =
     
    ∑
    i,j
    1
    sqrt(g(y))
    		 ∂i( sqrt(g) gij∂j γ)(y).
  • [sect:8-6-(4)] Ist  ν∈Tx(M)⊥ , so heißt  Hν(x):=1/mκ(x)•ν  die mittlere Krümmung von  M  im Punkte  x  in Richtung  ν . Ferner heißt eine Fläche Minimalfläche, falls  κ(x)=0  für alle  x∈M .
Wir betrachten einige Spezialfälle.

Wir geben nun zwei Anwendungen des GAUSS'schen Satzes auf Flächen an. Die erste Anwendung ist der STOKES'sche Satz im  R3 , bei dem das Vektorfeld  f  in satz:8-5 tangential ist, so dass also der Krümmungsterm verschwindet und der Randterm der wesentliche Term ist. Die zweite Anwendung ist die erste Variation des Flächenfunktionals, bei der ein Normalenfeld  f  mit kompaktem Träger auftritt, so dass der Randterm in satz:8-5 verschwindet und der Krümmungsterm der wesentliche Term ist.

Klassischer Satz von STOKES    [satz:8-8]
 M ⊂R3  sei eine orientierbare  C2 -Fläche in dem Sinne, dass ein stetiges Einheitsnormalenfeld  ν  existiert, d. h.  ν:M → Rn  stetig mit
ν(x) ∈Tx(M)⊥,    |ν(x)|=1 .
Weiter sei  Ω⊂M  wie im GAUSS'schen Satz auf Flächen und  a : U → R3  stetig differenzierbar in einer offenen Umgebung  U  von  clos(Ω) . Dann gilt:
 
∫
Ω
 ( rot a)•νdH2 =
 
 
∫
∂M Ω
 a •τdH1
wobei das Tangentialfeld  τ  auf  ∂M Ω  eindeutig definiert ist durch  νΩ ×τ= ν .
Beachte: Zunächst ist  U  eine offene Menge im  R3 . Wenn jedoch  x ∈M  und  {τ1,τ2}  eine Orthonormalbasis von  Tx(M)  mit  τ1 ×τ2 = ν(x)  ist, dann gilt:
rot   a(x) •ν(x) = (∂τ1 a(x)) •τ2 - (∂τ2 a(x)) •τ1.
Also muss  a  für den Satz nur auf  M  definiert und stetig differenzierbar sein.

Variation des Flächeninhalts    [sect:8-9]
 f  sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf der  m -dimensionalen  C1 -Fläche  M  und die  f= id   außerhalb einer kompakten Teilmenge von  M , sowie sei  f  eine in der  C1 -Norm kleine Deformation. Dann sei ein Funktional für solche Vektorfelder  f  definiert durch
E(f) := Hm(f(M)) =
 
∫
M
 sqrt( det(∂τk f •∂τl f)k,l) dHm ,
wobei punktweise für  x ∈M  die Menge  {τ1 (x), ..., τn (x) }  eine Orthonormalbasis von  Tx(M)  ist.
Bemerkung: Diese Darstellung des Flächeninhalts von  f(M)  folgt aus dem Transformationssatz auf Flächen (siehe Übungsaufgabe aufgabe:53). Wir setzen hier voraus, dass  Hm(M)<∞  ist.
Dann gilt für stetig differenzierbare  g: M → Rn  mit kompaktem Träger in  M :
∂g E( id ) =
 
∫
M
 div M(g) dHm = -
 
∫
M
 g •κdHm .
Sprachliche Formulierung: Wir sagen, die erste Variation des Flächeninhalts ist durch den negativen Krümmungsvektor der Fläche gegeben.
Wir komplettieren diesen Abschnitt mit folgenden Aussagen:

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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