Inhalt (LaTeX)

Lineare Differentialoperatoren  chap:1

Definition (Klassische lineare Differentialoperatoren)  sect:1-1
Beispiele  sect:1-2
Spezielle Lösungen  sect:1-3
Existenzsatz für Gradienten (POINCARÉ Lemma)  sect:1-4
Beispiele  sect:1-5
Definition (Transponierter Operator)  sect:1-6
Bemerkung  sect:1-7
Beispiele  sect:1-8
Definition (Distribution einer Funktion)  sect:1-9
Folgerungen  sect:1-10
Definition (Distributionen)  sect:1-11
Definition (Distributionslösung)  sect:1-12
Definition (Schwache Ableitung)  sect:1-13
Satz  sect:1-14
Satz  sect:1-15
Verallgemeinertes Fundamentallemma der Variationsrechnung  sect:1-16
Satz (TAYLOR-Entwicklung)  sect:1-17
Definition (LANDAU-Symbole)  sect:1-17def
Anhang  sect:1-18

Fundamentallösungen  chap:2

DIRAC-Distribution  sect:2-1
Definition (Fundamentallösungen)  sect:2-2
Satz (Gewöhnliche Differentialgleichung)  sect:2-3
Satz (Integraldarstellung für L(u)=u′ )  sect:2-4
Satz  sect:2-5
Satz  sect:2-6
Satz (Divergenzoperator)  sect:2-7
Beispiel (Maß als Fundamentallösung)  sect:2-8
Beispiel (Gradient)  sect:2-10
Approximationssatz  sect:2-11

Holomorphe Funktionen  chap:3

Definition (CAUCHY-RIEMANN-Operator)  sect:3-0
Fundamentallösung  sect:3-1
Folgerung  sect:3-2
Proposition  sect:3-3
Definition  sect:3-gauss
Satz (Darstellung durch Potenzreihen)  sect:3-4
Satz  sect:3-5
Satz (Potenzreihen in C )  sect:3-6
Folgerung  sect:3-7
Elementare Funktionen  sect:3-8
Argumentfunktion  sect:3-9
Lemma  sect:3-10
Lemma  sect:3-11
Definition (Windungszahl)  sect:3-12
Definition (Logarithmus)  sect:3-13
Potenzreihe des Logarithmus  sect:3-14
Potenz- und Wurzelfunktionen  sect:3-15
BINOMI'sche Formel (Potenzreihe der Wurzelfunktion)  sect:3-16
Arcusfunktionen (am Beispiel des Arcussinus)  sect:3-17
Konforme Abbildungen  sect:3-18
(Gebrochen) lineare Transformationen  sect:3-19
Satz (Allgemeiner Satz von LIOUVILLE)  sect:3-20
Satz (Maximumprinzip)  sect:3-21
Identitätssatz  sect:3-22

Isolierte Singularitäten  chap:4

Satz (Hebbare Singularitäten)  sect:4-1
Satz (LAURENT-Reihe)  sect:4-2
Lemma  sect:4-3
Definition (Isolierte Singularitäten)  sect:4-4
Definition (Residuum)  sect:4-5
Beispiele  sect:4-6
Residuensatz  sect:4-7
Bemerkung  sect:4-8
Integration rationaler Funktionen auf R   sect:4-9
Integration periodischer Funktionen  sect:4-10
Integration von Potenzen auf [0, ∞[   sect:4-11

Harmonische Funktionen  chap:5

Definition (LAPLACE-Operator)  sect:5-0
Definition  sect:5-def
Fundamentallösung  sect:5-1
Folgerung  sect:5-2
Beispiel (Gravitationspotential)  sect:5-example
Reihendarstellung für n=2   sect:5-3
Randoperator  sect:5-4
GREEN-Funktion und POISSON-Funktion  sect:5-5
(Inhomogenes) POISSON-Integral  sect:5-6
GREEN'sche Funktion für die Kugel  sect:5-7
Satz  sect:5-8
Potenzreihen im Rⁿ   sect:5-9
Satz über Taylorreihe  sect:5-10
Definition  sect:5-11
Beispiel  sect:5-12
Satz  sect:5-13
Folgerung (Eindeutigkeit der Fundamentallösung)  sect:5-14
Satz (Allgemeiner Satz von LIOUVILLE)  sect:5-15
Maximumprinzip  sect:5-16
Identitätssatz  sect:5-17
Anwendungen des Maximumprinzips  sect:5-18
Anwendung des LIOUVILLE'schen Satzes  sect:5-19
Proposition  sect:5-20

Wärmeleitungsgleichung  chap:6

Definition (Wärmeleitungsoperator)  sect:6-0
Fundamentallösung  sect:6-1
Folgerung  sect:6-2
Integraldarstellung  sect:6-3
Folgerung (Regularitätssatz)  sect:6-4
CAUCHY-Problem  sect:6-5
Vergleichsprinzip  sect:6-6
Satz  sect:6-7
Maximumprinzip  sect:6-8

Wellengleichung  chap:7

Definition (Wellenoperator)  sect:7-0
Fundamentallösung für n=1   sect:7-1
Folgerung  sect:7-2
Satz (CAUCHY-Problem)  sect:7-3
Satz ( 4 -Punkte-Regel)  sect:7-4
Satz (Anfangsrandwertproblem auf einem Intervall)  sect:7-5

Anhang 1  chap:app1

Beweis zum CAUCHY-Problem  sect:app1-3
Beweis zum Anfangsrandwertproblem  sect:app1-5

Anhang 2  chap:app2

Fundamentallösung für n=2   sect:app2-2d
Fundamentallösung für n=3   sect:app2-3d
Mittelwertfunktion  sect:app2-mean

Aufgaben  chap:Aufgaben

Polarkoordinaten  aufgabe:1
Polarkoordinaten  aufgabe:2
Harmonische Funktionen  aufgabe:3
Produktansatz  aufgabe:4
Radialsymmetrische Lösungen  aufgabe:5
Transponierter Operator  aufgabe:6
Stromfunktion  aufgabe:7
Differentialgleichung einer Stromfunktion  aufgabe:8
Schwache Ableitung  aufgabe:9
Gravitationspotential  aufgabe:10
Sprungbedingung  aufgabe:11
Singularitätenfunktion  aufgabe:12
Fundamentallösung  aufgabe:13
Schwache Lösung  aufgabe:14
Fundamentallösung  aufgabe:15
Rechenregeln für Exponentialfunktion  aufgabe:16
Konjugiert harmonische Funktion  aufgabe:17
Lineare Transformationen  aufgabe:18
SCHWARZ'sches Spiegelungsprinzip  aufgabe:19
Konvergenzradius  aufgabe:20
Trigonometrische Funktionen  aufgabe:21
Windungszahl  aufgabe:22
Randwertproblem  aufgabe:23
Holomorphe und antiholomorphe Funktionen  aufgabe:24
Außenraumgebiet  aufgabe:25
Komplexe Sinusfunktion  aufgabe:26
Konforme Transformation  aufgabe:27
Polstellenordnung  aufgabe:28
LAURENT-Reihe  aufgabe:29
Singularitäten  aufgabe:30
Uneigentliche Integrale  aufgabe:31
Anwendung des Residuensatzes  aufgabe:32
Fundamentallösung  aufgabe:33
DIRICHLET-Integral für harmonische Funktionen  aufgabe:34
Biharmonische Gleichung  aufgabe:35
HARNACK-Ungleichung  aufgabe:36
Superharmonische Funktionen  aufgabe:37
GREEN-Funktion für Halbraum  aufgabe:38
Potenzreihen im Rⁿ   aufgabe:39
HARNACK-Ungleichung  aufgabe:40
Subharmonische Funktionen  aufgabe:41
Satz von LIOUVILLE  aufgabe:42
GREEN-Funktion für Halbraum  aufgabe:43

Tabellen TABLES

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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Lineare Differentialoperatoren

Sachverzeichnis