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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

GREEN-Funktion der Kugel

GREEN'sche Funktion für die Kugel    [sect:5-7]

Für  Ω=BR(0)⊂Rn  und  L=-Δ ,  B(u)=u  (DIRICHLET-Operator) ist die GREEN'sche Funktion gegeben durch
Gx(y)=
1
 
ϭn
(ψn(|x-y|)-ψn(|
R
|x|
x-
|x|
R
y|))
     für x≠0,
1
 
ϭn
n(|x-y|)-ψn(R))
     für x=0 .
Dabei ist  ψn  die Funktion aus sect:5-1. Die zugehörige POISSON-Funktion ist
Px(y)=
1
 
ϭn
R2-|x|2
 
R|x-y|n
 
.
Bemerkung: Für Kugeln  Ω=BR(x0)  ersetze auf der rechten Seite  x ,  y  durch  x-x0 ,  y-x0 .

Beweis. Definiere für  0< |x|<R 
x*:=
R2
 
|x|2
 
x     (Inversion an BR(0)).
Dann gilt für  0< |x|<R  und  |y|=R 
|x*-y|2
=
|x*|2-2x*•y + R2
=
R4
 
|x|2
 
-2
R2
 
|x|2
 
x•y +R2
=
R2
 
|x|2
 
(R2-2x•y +|x|2)
=
R2
 
|x|2
 
|x-y|2 .
Also ist  |x*-y|=R/|x||x-y| , und es folgt
|x-y|=
|x|
R
|x*-y| = |
R
|x|
x-
|x|
R
y|.
Für  x → 0  konvergiert diese Identitiät zu  |x-y| = R . Somit ist  Gx=0  auf  ∂BR(0)  für alle  x∈BR(0) . Nun ist
y | 
1
 
ϭn
ψn (|
R
|x|
x-
|x|
R
y|) = FR/|x|x(
|x|
R
y)
harmonisch auf  BR(0) , da  R/|x|x∈∂BR(0)  und daher  FR/|x|x  auf  BR(0)  harmonisch ist. Also ist  -Δ[Gx]=δx . Damit ist gezeigt, dass  G  eine GREEN'sche Funktion ist. Nun berechnen wir die zugehörige POISSON-Funktion. Nach dem Beweis von sect:5-5 (siehe eq:55-special) ist für den DIRICHLET-Randoperator
Px = - νBR(0)•∇Gx
auf  ∂BR(0) . Nun gilt mit  Fx:=F(x-·
Gx(y) = Fx(y) - FR/|x|x(
|x|
R
y)
in  clos(BR(0))∖{0} , also
∇Gx(y)
=
∇Fx(y)-
|x|
R
∇FR/|x|x (
|x|
R
y)
=
1
 
ϭn
x-y
 
|x-y|n
-
|x|
R
1
 
ϭn
R
|x|
x-
|x|
R
y




 
|
R
|x|
x-
|x|
R
y|n




.
Für  y∈∂BR(0)  ist der letzte Nenner auf der rechten Seite gleich  |x-y|n , also gilt
∇Gx
=
1
 
ϭn|x-y|n
((x-y)-(x-
|x|2
 
R2
 
y))
=
(
|x|2
 
R2
 
-1)
1
 
ϭn|x-y|n
y ,
und es folgt
Px(y)=-∇Gx(y)•
y
|y|
=
1-
|x|2
 
R2
 
 
ϭn|x-y|n
 
 
 
 
R .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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