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Wärmeleitungsgleichung Sachverzeichnis
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Harmonische Funktionen
[chap:5]


Der Differentialoperator für diese Klasse der harmonischen Funktionen ist der LAPLACE-Operator:

Definition (LAPLACE-Operator)    [sect:5-0]
Der Differentialoperator  L  in diesem Kapitel ist der negative LAPLACE-Operator
L(u)=-Δu
für zweimal stetig differenzierbare Funktionen  u . Also ist  m=2 ,  n  beliebig und  M=N=1  in sect:1-1. Im diesem Kapitel sei  L  immer dieser Operator. Es ist
LT(v)=-Δv     also LT=L.

Definition    [sect:5-def]
Sei  Ω⊂Rn  offen. Dann heißt  u∈L1loc(Ω) 
  • harmonisch, falls  -Δ[u]=0 .
  • subharmonisch, falls  -Δ[u]≦0 .
  • superharmonisch, falls  -Δ[u]≧0 .
Bezeichnung: Subharmonische Funktionen nennen wir auch Unterlösung zu  L  und superharmonische Funktionen nennen wir auch Oberlösung zu  L .
Die letzten beiden distributionellen Ungleichungen sind wie folgt definiert:

Definition
Für eine Distribution  T∈D'(Ω)  ist per Definition  T≧0  genau dann, wenn  T(ζ)≧0  für alle Testfunktionen  ζ∈C0∞(Ω)  mit  ζ≧0 .

Entsprechend ist per Definition  T≦0 , wenn  -T≧0 .

Wir geben als Erstes die Fundamentallösung für den (negativen) LAPLACE-Operator an.

Fundamentallösung    [sect:5-1]
F(x) =
1
 
(n-2)ϭn
 |x|2-n
     für n ≧3
-
1
2 π
 log|x|
     für n = 2
-
1
2
 |x|
     für n=1
definiert eine Fundamentallösung  F ∈L1loc(Rn)  von  - Δ . Dabei ist  ϭn  der Flächeninhalt der Sphäre  Sn-1 := ∂B1(0)⊂Rn , wie schon in [Analysis III:Flächeninhalt der Einheitssphäre] , wobei speziell  ϭ1=2  und  ϭ2=2π . Dort wurde auch bewiesen, dass  ϭn=nκn . Dabei ist  κn  das Volumen der Einheitskugel  B1(0)⊂Rn  (siehe [Analysis III:Maß der Einheitskugel] ).
Mit Satz sect:2-5 folgt:

Folgerung    [sect:5-2]
Ist  f ∈L1loc(Rn)  mit kompaktem Träger, so definiert
u(x)
:=
 
 
∫
Rn
 F(x-y) f(y) dy
=
1
 
(n-2)ϭn
 
 
∫
Rn
f(y)
 
|x-y|n-2
 dy
     für n ≧3
-
1
2 π
 
 
∫
R2
 log
1
|x-y|
 ·f(y) dy
     für n = 2
-
1
2
 
∫
R
 |x-y| f(y) dy
     für n = 1
eine  L1loc(Rn) -Funktion mit
-Δ[u] = [f]      in D'(Rn) .
Zur Erinnerung: Hierbei bezeichnen  [u]  und  [f]  die zu den Funktionen  u  und  f  gehörenden Distributionen aus sect:1-9.

Ein wichtiges Anwendungsbeispiel ist das

Das Ziel der folgenden Überlegungen ist es zu zeigen, dass harmonische Funktionen reell analytisch sind. Zunächst als Motivation der zweidimensionale Fall. Wir leiten nun mit Hilfe der Fundamentallösung eine Integraldarstellung für glatte Lösungen  u  der Differentialgleichung  -Δu=f  her. Die Freiheit beim Kern in der Integraldarstellung (siehe eq:5-kern) wird dazu benutzt, verschiedene Randbedingungen zu realisieren. Dazu definieren wir:

Randoperator    [sect:5-4]
Es sei  Ω⊂Rn  ein GAUSS-Gebiet (siehe sect:3-gauss, also nicht notwendigerweise beschränkt). Betrachte einen Operator
B(u) := b0 u + b1 νΩ •∇u : ∂regΩ → R
für  u ∈C1(clos(Ω)) , wobei
(b0,b1)  : ∂regΩ → R2∖{0}
 Hn-1 -messbar sei und  ∂reg Ω  den regulären  C1 -Rand des GAUSS-Gebietes  Ω  bezeichnet. Dabei gibt es zwei Fälle, die von besonderer Bedeutung sind:
  • DIRICHLET-Randoperator.   b0 = 1 ,  b1 = 0 , also  B(u) = u .
  • NEUMANN-Randoperator.   b0 = 0 ,  b1 = 1 , also  B(u) = ∂νΩ u = νΩ •∇u .

Wir werden nun sehen, dass sich zu jedem Randwertproblem eine GREEN'schen Funktion und eine POISSON-Funktion definieren lassen, mit deren Hilfe sich eine Integraldarstellung ergibt, die als Randwerte nur noch den Randoperator enthält.

GREEN-Funktion und POISSON-Funktion    [sect:5-5]
Betrachte ein Paar  (L,B)  mit Differentialoperator  L=-Δ  in  Ω  und Randoperator  B  auf  ∂Ω  wie in sect:5-4. Eine Funktion
G  : Ω×clos(Ω) → R,     (x,y)  |→ Gx(y) := G(x,y) ∈R
heißt GREEN'sche Funktion auf  Ω  bezüglich  (L,B) , falls für alle  x∈Ω  gilt
L[Gx]
=
δx      in D'(Ω) ,
B(Gx)
=
0      auf ∂Ω.
Dann ist
Gx=F(x-·)-Hx
mit  L[Hx]=0  in  D'(Ω) , wobei vorausgesetzt sei, dass  Hx∈C1(clos(Ω)) .

Wir behaupten: Zu einem  G  wie oben gibt es genau eine Funktion

P  : Ω×∂regΩ → R,     (x,y)  |→ Px(y) := P(x,y) ∈R
mit
(Gx , νΩ•∇Gx) = Px·(b1,-b0) .
Diese Funktion heißt POISSON-Funktion zu  (L,B) .

(Inhomogenes) POISSON-Integral    [sect:5-6]
Sei  Ω  ein beschränktes GAUSS-Gebiet,  B  ein Randoperator wie in sect:5-4 und es existiere eine GREEN'sche Funktion  G  zu  (-Δ,B)  auf  Ω . Es bezeiche  P  die zugeörige POISSON-Funktion aus sect:5-5. Dann gilt für  u∈C1(clos(Ω))∩C2(Ω)  mit  Δu∈L1(Ω) 
u(x) =
 
∫
Ω
 Gx(-Δu) dLn +
 
∫
∂Ω
 Px·B(u) dHn-1      für alle x∈Ω.
Spezialfall: POISSON-Integral.  Ist  u  harmonisch in  Ω , so verschwindet das Gebietsintegral und wir erhalten die Formel
u(x)=
 
∫
∂Ω
 Px·B(u) dHn-1 .
In einigen, aber dafür sehr wichtigen Fällen lässt sich eine GREEN'sche Funktion explizit angeben.

Damit ergibt sich folgende Integraldarstellung für harmonische Funktionen:

Folgerung
Für  u∈C2(clos(BR(x0))) ,  u  harmonisch,  x∈BR(x0)  gilt
u(x)=
1
 
ϭn
 
 
∫
∂BR(x0)
R2-|x-x0|2
 
R|x-y|n
 
 u(y) dHn-1(y) .
Dies ist das POISSON-Integral für die Kugel.

Aus dieser POISSON-Darstellung leiten wir nun die Charakterisierung harmonischer Funktionen durch die Mittelwert-Eigenschaft her.

Satz    [sect:5-8]
Sei  Ω⊂Rn  offen,  u∈L1loc(Ω) . Dann sind äquivalent:
  • [sect:5-8-(1)] Harmonizität.   u  ist harmonisch.
  • [sect:5-8-(2)] POISSON-Darstellung.  Ist  BR0(x0)⊂Ω , so gilt für fast alle  x  und fast alle  R  mit  |x-x0|<R<R0 :
    [eq:58-2]
    u(x) =
    1
     
    ϭn
     
     
    ∫
    ∂BR(x0)
    R2-|x-x0|2
     
    R|x-y|n
     
    		 u(y) dHn-1(y)  .
  • [sect:5-8-(3)] Mittelwerteigenschaft auf Sphären.  Für fast alle  x∈Ω  und fast alle  R>0  mit  clos(BR(x))⊂Ω  gilt
    [eq:58-3]
    u(x) =
    1
     
    ϭnRn-1
     
     
    ∫
    ∂BR(x)
    		 u(y) dHn-1(y)  .
  • [sect:5-8-(4)] Mittelwerteigenschaft auf Kugeln.  Für fast alle  x∈Ω  und alle  R>0  mit  clos(BR(x))⊂Ω  gilt
    u(x) =
    1
     
    κnRn
     
     
    ∫
    BR(x)
    		 u(y) dLn(y)  .
Verallgemeinerung: Ist  u  subharmonisch (bzw. superharmonisch), so gelten die Aussagen mit "  ≦  "(bzw."  ≧  ") statt "  =  ".

Wir wollen nun die Analytizität harmonischer Funktionen beweisen. Dazu zunächst ein Exkurs in die Potenzreihen mehrerer Veränderlicher (hier für den  Rn  dargestellt, geht aber im  Cn  genauso).

Definition    [sect:5-11]
Sei  Ω⊂Rn  offen, dann heißt  u : Ω → R  reell analytisch, falls sich  u  um jeden Punkt von  Ω  in eine Potenzreihe wie in sect:5-9 entwickeln lässt.

Nach diesen Aussagen über Potenzreihen können wir nun leicht die Analytizität harmonischer Funktionen beweisen.

Satz    [sect:5-13]
Sei  Ω⊂Rn  offen,  u ∈L1loc(Ω)  harmonisch. Dann stimmt  u  fast überall in  Ω  mit einer reell analytischen Funktion überein.
Aus der Mittelwerteigenschaft lässt sich analog zu Kapitel chap:3 (siehe sect:3-20, sect:3-21) auch das Maximumprinzip und der Satz von LIOUVILLE für harmonische Funktionen herleiten.

Satz (Allgemeiner Satz von LIOUVILLE)    [sect:5-15]
Sei  u ∈C0(Rn)  harmonisch,  m ≧0  eine ganze Zahl und es gelte
 
lim sup
|x| → ∞
|u(x)|
 
|x|m
 < ∞.
Dann ist  u  ein Polynom der Ordnung  ≦m . Speziell gilt im Fall  m = 0  der klassische Satz von LIOUVILLE:
Spezialfall: Satz von LIOUVILLE.  Jede beschränkte harmonische Funktion auf dem  Rn  ist konstant.
Maximumprinzip    [sect:5-16]
Sei  Ω⊂Rn  offen und zusammenhängend,  u ∈C0(Ω)  harmonisch (bzw. subharmonisch). Hat  u  in einem Punkt in  Ω  ein lokales Maximum (bzw. globales Maximum im subharmonischen Fall), so ist  u  konstant auf  Ω .

Folgerung
Sei  Ω⊂Rn  offen und beschränkt. Ist  u ∈C0(clos(Ω))  subharmonisch und  u0 ∈R , so gilt:
u≦u0 auf ∂Ω ==> u≦u0 in Ω.
Bemerkung: Diese Folgerung ist hier nur für DIRICHLET-Randbedingungen formuliert, für andere Randbedingungen existieren ebenfalls derartige Folgerungen.
Als Konsequenz erhalten wir einen Identitätssatz.

Identitätssatz    [sect:5-17]
Sei  Ω⊂Rn  offen und zusammenhängend,  u : Ω → R  reell analytisch. Enthält dann die Nullstellenmenge von  u  einen inneren Punkt, so ist  u=0  auf  Ω .
Hinweis: Dieser Identitätssatz gilt, wie oben schon erwähnt, auch im komplexen Fall. Umgekehrt gilt der Schluss im Identitätssatz sect:3-22 auch für eindimensional reell analytische Funktionen auf Intervallen. Daher ist sect:5-17 in gewissem Sinne eine  n -dimensionale Verallgemeinerung des Satzes sect:3-22. Beachte jedoch, dass die Voraussetzungen der Aussage in sect:5-17 im Falle  n=1  stärker sind als die von sect:3-22. Dies muss so sein. Betrachte als Beispiel die reell analytische Funktion  u : R2 → R ,  u(x):=x1-x2 . Die Nullstellenmenge von  u  hat keinen inneren Punkt, aber Häufungspunkte. Dasselbe gilt für die komplex analytische Funktion  u : C2 → C ,  u(z):=z1-z2 .

Folgerung (Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit)
Sei  u : Ω → R  reell analytisch,  Ω⊂Rn  offen. Weiter sei  ũ : Ω̃ → R  reell analytisch,  Ω̃⊂Rn , so dass  Ω̃  und  Ω∩Ω̃  zusammenhängend. Ist dann  u = ũ  in einer Umgebung eines Punktes in  Ω̃∩Ω , so ist durch  ũ  eine eindeutige Fortsetzung von  u  auf  Ω∪Ω̃  gegeben.
Schließlich wollen wir einige Anwendungen des Maximumprinzips untersuchen.

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Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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