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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Fundamentallösungen
[chap:2]


Fundamentallösungen spielen, wie wir sehen werden, eine zentrale Rolle bei der Behandlung vieler Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. Zu jedem Differentialoperator sind die Fundamentalösungen charakteristische Singularitätenfunktionen, die dann in allen Integraldarstellungen auftreten.

Zunächst die beiden wesentlichen Definitionen:

DIRAC-Distribution    [sect:2-1]
Sei  x0∈Rn . Dann definiert
δx0(ζ) := ζ(x0)      für ζ∈C0∞(Rn)
eine Distribution  δx0∈D'(Rn) , die DIRAC-Distribution im Punkte  x0 . Dies ist eine Distribution im Sinne von Defnition sect:1-11, da
|δx0(ζ)| ≦ || ζ || C0(Ω).

In Analysis III (siehe [Analysis III:LAPLACE-Operator] und [Analysis III:CAUCHY-Integralformel] ) hatten wir schon sogenannte Singularitätenfunktionen für spezielle Differentialoperatoren betrachtet, so z. B. für

∂ conj(z)
die Funktion
z |→ 
1
 
z-z0
 ,
-Δ
für n=3 die Funktion
x |→ 
1
 
|x-x0|
 ,
∂t-Δ
die Funktion
(t,x) |→ 
1
 
tn/2
 exp ( -
|x|2
4t
 
 ) .
Wir werden im Laufe der Vorlesung sehen, dass diese Funktionen bis auf Normierung gerade Fundamentallösungen für die entsprechenden Operatoren sind.

Definition (Fundamentallösungen)    [sect:2-2]
Sei
L : Cm(Rn;RN) → C0(Rn;RM)
ein linearer Differentialoperator wie in sect:1-1 mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt
F=(Fjk)j=1,...,N ; k=1,...,M mit Fjk∈D'(Rn)
Fundamentallösung zu  L , falls für alle  i,k∈{1,...,M} 
N
∑
j=1
 Lij(Fjk) =
δ0
    für i=k ,
0
    sonst.
Hierbei handelt es sich also um eine Distributionslösung (siehe sect:1-12). (Wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind, kann man hierfür auch  L(F)=δ0 IdRM  schreiben, wobei  IdRM  die  M×M -Einheitsmatrix bezeichnet.)
Spezialfall einer Gleichung (N=M=1): Sei
L : Cm(R;R) → C0(R;R)
ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Distribution  F∈D'(Rn)  eine Fundamentallösung von  L , wenn
L(F)=δ0 .
Hinweis: Die Definition einer Fundamentallösung für Systeme findet man in der Literatur in der Regel nicht.
Spezialfall einer Funktion als Fundamentallösung: Sei  F=(Fjk)jk∈L1loc(Rn;RN×M) . Ist  [F]:=([Fjk])jk  eine Fundamentallösung, so nennen wir auch  F  Fundamentallösung. In dieser Vorlesung werden alle Fundamentallösungen  L1loc -Funktionen sein (bis auf das elementare Beispiel in sect:2-8).

Als einfachstes Beispiel geben wir zunächst die Fundamentallösungen zweier gewöhnlicher Differentialoperatoren an.

Die Bedeutung von Fundamentallösungen wird durch folgende Betrachtung deutlich: In der Situation von Satz sect:2-4-(1) setze  f(y):=0  für  x∉I . Weiter sei  F  die Fundamentallösung aus sect:2-3-(1). Dann gilt für  x∈R 

(F∗ f)(x) =
 
∫
R
 F(x-y)f(y) dy =
x
∫
-∞
 f(y) dy =
x
∫
a
 f(y) dy.
Nach Satz sect:2-4 erfüllt daher  u:=F∗ f  die Gleichung  [u]′=[f] .

Wir versuchen nun eine analoge Aussage für allgemeine Differentialoperatoren.

Satz    [sect:2-5]
Sei  F=(Fjk)jk∈L1loc(Rn;RN×M)  Fundamentallösung zu  L  wie in sect:2-2, sowie  f∈L1(Rn;RM)  mit kompaktem Träger. Dann ist
u := F∗ f = (
 
∑
k
 Fjk ∗ fk ) j=1,..., N ∈L1loc(Rn;RN)
mit
 
∑
j
 Lij[uj] = [fi]      für i=1,..., M .
Zur Erinnerung: Hierbei bezeichnen  [uj]  und  [fi]  die zu den Funktionen  uj  und  fi  gehörenden Distributionen aus sect:1-9.
Wir geben nun einige wichtige Fundamentallösungen an. Das erste Beispiel behandelt Systeme linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.

Satz    [sect:2-6]
Sei  L(u):=u′-Au  für  u∈C1(R;RN)  (also is  n=1 ,  m=1 ,  M=N  in sect:2-2), wobei  A∈RN×N  eine  N×N -Matrix ist. Dann ist durch
F(t) :=
etA
     für t>0 ,
0
     für t<0 ,
eine Fundamentallösung  F∈L1loc(R;RN×N)  von  L  definiert. Jede andere  L1loc -Fundamentallösung hat die Gestalt
t |→ F(t)+etAC
mit einer Matrix  C∈RN×N .
Das zweite Beispiel behandelt den Divergenzoperator.

Satz (Divergenzoperator)    [sect:2-7]
Sei  L(u):= div (u)  für  u∈C1(Rn; Rn)  (es ist  M=1 ,  N=n ,  M=1  in sect:2-2). Dann definiert
F(x):=
1
 
ϭn
x
 
|x|n
 ,      wobei ϭn:=Hn-1(∂B1(0)) ,
eine Fundamentallösung  F∈L1loc(Rn; Rn)  zu  L .
Hinweis: Dies ist wirklich nur eine Fundamentallösung des angegebenen Operators. Es existieren sehr verschiedene Fundamentallösungen; eine Eindeutigkeitsaussage wie etwa in Satz sect:2-6 ist daher nicht möglich.
Zum Schluss geben wir noch zwei Beispiele dafür an, dass die Suche nach Fundamentallösungen auch auf andersartige Antworten führen kann - im Gegensatz zu bisher, wo alle Fundamentallösungen glatte Funktionen außerhalb des Ursprungs waren mit einem singulären Verhalten im Ursprung. Eine weitere wichtige Eigenschaft von Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten ist, dass man Distributionslösungen lokal durch  C∞ -Lösungen approximieren kann. Wir werden dies in den nächsten Kapiteln zur Herleitung von Integraldarstellungen schwacher Lösungen benutzen.

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H.W. Alt - 02.01.2007

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