Beweis.
Definiere u(x) zu einer C1 -Abbildung
γ : [s0,s1] → Ω wie in eq:14.
Wie im Beweis von sect:1-4 sehen wir,
dass wir [s0,s1]=[0,1] annehmen können.
Wir haben wieder die Unabhängigkeit dieses
Integrals von γ zu beweisen.
Sei also γ̃∈C1([0,1] ; Ω) mit
γ̃(0) = γ(0) , γ̃(1) = γ(1) .
Wie in sect:1-4 wählen wir eine Homotopie
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h : [0,1]2 → Ω mit
h(0,s) = γ(s) ,
h(1,s) = γ̃(s) .
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Wähle dann ein offenes Ω' mit
mit kompaktem clos(Ω') .
Auf Ω' betrachte die Glättung
fε := ϕε∗ f für kleines ε>0 mit einer
Standard-DIRAC-Folge.
Die schwachen Differentialgleichungen von f übertragen sich
auf fε (siehe Satz sect:2-10),
d. h. für kleines ε>0 gilt
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∂jfεi-∂ifεj = 0
in Ω' für i,j=1,...,n .
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Wie im Beweis von sect:1-4 folgt dann
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fε∘γ(s) γ′(s) ds
=
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fε∘γ̃(s) γ̃′(s) ds .
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Da fε → f gleichmäßig in clos(Ω') ,
folgt diese Identiät auch für f .
Dies beweist, dass u in eq:14 wohldefiniert ist.
Dass dann u stetig differenzierbar mit ∇u = f ,
ist derselbe Schluss wie im Beweis von sect:1-4.
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