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Fundamentallösungen Fundamentallösungen
Fundamentallösungen Sachverzeichnis
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Lineare Differentialoperatoren
[chap:1]


In dieser Vorlesung werden wir immer folgende Bezeichnungen verwenden:

Wir beginnen mit der Definition von linearen Differentialoperatoren.

Definition (Klassische lineare Differentialoperatoren)    [sect:1-1]
Ein klassischer linearer Differentialoperator der Ordnung  m≧0  auf  Ω  ist eine Abbildung
L : Cm(Ω;RN) → C0(Ω;RM) ,
so dass für  u∈Cm(Ω;RN)  und  x∈Ω  der Wert  L(u)(x)∈RM  eine Linearkombination der partiellen Ableitungen  ∂αu(x)  für  |α|≦m  ist. Dabei sind  N  und  M  natürliche Zahlen. Also hat  L  die folgende Darstellung für alle  u∈Cm(Ω;RN)  und alle  x∈Ω :
L(u)(x) =
 
∑
|α|≦m
 aα(x)∂αu(x) .
Dabei sind die  aα(x)∈RM×N , d.h.  M×N -Matrizen. Die abkürzende Schreibweise dafür ist
L(u) =
 
∑
|α|≦m
 aα∂αu     in Ω.
Aus dieser Definition folgt:
  • [sect:1-1-(1)] Die  aα  sind notwendigerweise stetig.
  • [sect:1-1-(2)] Die  aα  sind eindeutig bestimmt.
  • [sect:1-1-(3)]  L  kann geschrieben werden als
    L(u) = (
    N
    ∑
    j=1
    		 Lij(uj) ) i=1,...,M ,
    wobei  Lij : Cm(Ω) → C0(Ω)  skalare Differentialoperatoren sind mit der Darstellung
    Lij(v)(x) =
     
    ∑
    |α|≦m
    		 (aα)ij(x)∂αv(x) ,
    aα(x) = ( (aα)ij(x) ) i=1,...,M ; j=1,...,N .
Die eindeutig bestimmten  aα  heißen die Koeffizienten von  L . Wir sagen,  L  ist ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten (bzw.  C∞ -Koeffizienten oder analytischen Koeffizienten, usw.), wenn die Koeffizientenfunktionen  x |→ aα(x)  von  x  unabhängig sind (bzw. unendlich oft differenzierbare Funktionen sind oder reell analytische Funktionen sind, usw.).
Zu einem gegebenen Differentialoperator wollen wir die zugehörige Differentialgleichung lösen.

Zugehörige Differentialgleichung:
  • gegeben:   f∈C0(Ω;RM) .
  • gesucht:   u∈Cm(Ω;RN)  mit  L(u)=f  in  Ω .
Dann heißt  u  starke Lösung der Differentialgleichung
L(u) = f     in Ω.
Diese Gleichung besteht aus  M  reellen Differentialgleichungen für  N  unbekannte Funktionen.

Fragen:
  • Für welche  f  existiert eine Lösung?
    (Z. B. für  f=0 , da  L(0)=0 . Die Menge der  f , für die eine Lösung existiert, ist ein Unterraum von  C0(Ω;RM) . Dies folgt aus der Linearität von  L .)
  • Wieviele Lösungen gibt es bei gegebenem  f ?
    (Die Menge der Lösungen ist leer oder ein affiner Unterraum von  Cm(Ω;RN) . Dies folgt wiederum aus der Linearität von  L .)

Wir geben eine Liste der wichtigsten linearen Differentialoperatoren an.

Beispiele    [sect:1-2]
  • [sect:1-2-(7)] Wellenoperator ( m=2 ,  N=M=1 ). 

Wir geben nun einige spezielle Lösungsansätze für homogene Differentialgleichungen an. Bei gegebenem Differentialoperator  L  ist dies die Differentialgleichung  L(u)=0 . Wir beschränken uns dabei auf Operatoren  L  mit konstanten Koeffizienten.

Spezielle Lösungen    [sect:1-3]
Sei  L  ein Operator mit konstanten Koeffizienten. Im Folgenden geben wir einige Methoden zur Lösung der homogenen Gleichung  L(u)=0  an:
  • [sect:1-3-(2)] Produktansatz (Separation der Variablen). 

Wir nehmen nun im folgenden Satz sect:1-4 das Beispiel sect:1-2-(1) wieder auf und zeigen, dass die dort gezeigte notwendige Bedingung für  ∇u=f  auch hinreichend ist. Dies ist ein Spezialfall des Lemmas von POINCARÉ.

Existenzsatz für Gradienten (POINCARÉ Lemma)    [sect:1-4]
Sei  Ω⊂Rn  offen,  f∈C1(Ω;Rn)  mit  ∂jfi - ∂ifj = 0  für  i, j=1,...,n . Falls jede geschlossene Kurve in  Ω  zusammenziehbar ist, so existiert ein  u∈C2(Ω)  mit  ∇u = f .
Zusatz: Ist  Ω  zusätzlich (weg-)zusammenhängend (dann heißt  Ω  einfach zusammenhängend ) und  x0∈Ω , so haben alle Lösungen die Darstellung
u(x) = u(x0) +
1
∫
0
 f(γ(s)) •γ′(s) ds
für alle Abbildungen  γ : [0,1] → Ω , mit  γ(0)=x0  und  γ(1)=x , die stetig und stückweise differenzierbar sind.
Die Differentialgleichung  ∇u=f  ist auch für  u∈C1(Ω;Rn)  und  f∈C0(Ω;R)  im klassischen Sinn definiert, jedoch ist dann die Bedingung an  f  in sect:1-4 nicht klassisch formulierbar. Dazu zunächst folgende

Die so motivierte schwache Version der Bedingung an  f  stellen wir nun in einen allgemeinen Rahmen. Dies geschieht mit dem Begriff des transponierten Differentialoperators.

Bei den Integralen mit Testfunktion (wie auch schon in Analysis III im Kapitel [Analysis III:7] , so in [Analysis III:EULER-LAGRANGE-Gleichungen] , [Analysis III:Divergenzgleichung] , [Analysis III:Erhaltungsgleichung] ) handelt es sich immer um lineare Abbildungen auf dem Funktionenraum  C0∞(Ω;Rl) . Wir gehen diese Tatsache nun systematisch an:

Definition (Distribution einer Funktion)    [sect:1-9]
Sei  Ω⊂Rn  offen.
  • [sect:1-9-(1)] Zu jedem  u∈L1loc(Ω)  ist eine lineare Abbildung  [u]  von  C0∞(Ω)  nach  R  definiert durch
    [u](ζ):=
     
    ∫
    Ω
    		 ζu dLn .
    Die Abbildung  u |→ [u]  ist linear und injektiv. Es heißt  [u]  die zu  u  gehörende Distribution.
    Hinweis: Wir werden in dieser Vorlesung systematisch die Bezeichnung  [u]  für die von einer Funktion  u  erzeugte Distribution verwenden. Später wird man die eckige Klammer immer weglassen. Es sei darauf hingewiesen, dass auch in Büchern über Distributionen und allgemein über partielle Differentialgleichungen in der Regel zwischen einer Funktion und der zugehörigen Distribution bzgl. der Bezeichnung nicht unterschieden wird.
  • [sect:1-9-(2)] Sei  S : C0∞(Ω) → R  linear,  1≦i≦n , so ist
    ( ∂iS ) (ζ):=-S ( ∂iζ )
    wieder eine solche Abbildung.
  • [sect:1-9-(3)] Sei  S : C0∞(Ω) → R  linear,  a∈C∞(Ω) , so ist
    ( a S ) (ζ):=S ( a ζ )
    wieder eine solche Abbildung.
  • [sect:1-9-(4)] Die Menge der linearen Abbildungen von  C0∞(Ω)  nach  R  ist ein Vektorraum.
Es gilt mit diesen Definitionen:
  • [sect:1-9-(5)]  ∂j∂iS=∂i∂jS  für  i, j=1...n .
  • [sect:1-9-(6)] Alle iterierten "Ableitungen" werden beschrieben durch
    ∂αS:=∂1α1...∂nαnS.
    Hierbei ist  α  ein Multiindex.

Mit Hilfe des Begriffs der Distributionen lassen sich sogenannte "schwache Lösungen" von Differentialgleichungen definieren.

Definition (Distributionslösung)    [sect:1-12]
 L  sei ein linearer Differentialoperator mit  C∞ -Koeffizienten wie in sect:1-1. Sei  F=(F1, ..., FM)  mit  Fi ∈D'(Ω)  gegeben. Betrachte die Gleichung:
N
∑
j=1
 Lij (Uj) = Fi in D' (Ω)      für i = 1, ..., M .
Erfüllt  U = (U1, ..., UN)  mit  Uj ∈D'(Ω)  diese Gleichung, so heißt  U  Distributionslösung der inhomogenen Differentialgleichung zu  L .
Speziell: Ist  f ∈L1loc(Ω;RM)  gegeben, so heißt  u ∈L1loc(Ω;RN)  schwache Lösung von  L(u) = f , falls
N
∑
j=1
 Lij ( [uj] ) = [fi] in D' (Ω)      für i = 1, ..., M .

Wir haben in sect:1-9-(2) gesehen, dass wir für Funktionen  u ∈L1loc(Ω)  beliebige Ableitungen  ∂α[u]  im Raum der Distributionen  D'(Ω)  bilden können. Im Allgemeinen sind diese Distributionsableitungen auch nur Distributionen. Dem Fall, dass eine solche Ableitung wieder durch eine Funktion dargestellt werden kann, kommt eine besondere Bedeutung zu. Wir definieren daher:

Definition (Schwache Ableitung)    [sect:1-13]
Sei  α  ein gegebener Multiindex und  u ∈L1loc(Ω;RN) . Dann heißt  f ∈L1loc(Ω;RN)  schwache Ableitung bezüglich  α , falls
∂α[uj] = [fj]      in D' (Ω) für j = 1, ..., N .
Dies bedeutet nach sect:1-10 bei Anwendung auf Testfunktionen  ζ :
(-1)|α|
 
∫
Ω
 ∂α ζ·uj dLn =
 
∫
Ω
 ζfj dLn
für alle  ζ∈C0∞(Ω)  und  j=1,...,N .

Nach diesen Definitionen stellt sich unmittelbar die Frage nach dem Zusammenhang zwischen schwacher und starker Ableitung.

Aus der Analysis II ist Folgendes bekannt: Sei  Ω⊂Rn  offen und  u : Ω → R . Gilt  ∂i u = 0  in  Ω  für  i=1, ...,n  im klassischen Sinne, so ist  u  konstant auf jeder Zusammenhangskomponente von  Ω .

Allgemeiner gilt: Ist  ∂α u = 0  in  Ω  für  |α| = k , so ist  u  auf jeder Zusammenhangskomponente von  Ω  ein Polynom der Ordnung  k-1 .

Frage: Wie verhalten sich diese Aussagen bei schwachen Ableitungen?

Vermutung: Es gelten die gleichen Aussagen im schwachen Sinne. Dies wird nun bewiesen.

Verallgemeinertes Fundamentallemma der Variationsrechnung    [sect:1-16]
Sei  u ∈L1loc(Ω) ,  Ω⊂Rn  offen und zusammenhängend, sowie  k ∈N∪{0} . Falls  ∂α [u] = 0  für  |α| = k , so ist  u  fast überall gleich einem Polynom der Ordnung höchstens  k-1  (es ist  u  die Nullfunktion, falls  k=0 ).
Spezialfälle:
  • Der Fall  k=0  findet sich im Fundamentallemma der Variationsrechnung für  L1 -Funktionen (siehe Beweis von sect:1-9).
  • Für  k=1  besagt der Satz:  ∂i [u]= 0  für  i=1,...,n  impliziert, dass  u  fast überall mit einer konstanten Funktion übereinstimmt.

Wir hatten im Anschluss an sect:1-5 die Einführung schwacher Lösungen damit motiviert, dass wir die Gleichung

∇u = f
auch für stetiges  f  lösen möchten. Dies führen wir jetzt aus.

Anhang    [sect:1-18]
Es sei  Ω⊂Rn  offen mit der Eigenschaft aus sect:1-4. Weiter sei  f∈C0(Ω; Rn)  mit
∂j[fi] - ∂i[fj] = 0      in D'(Ω)
für  i,j=1,...,n . Dann definiert die Gleichung eq:14 eine Lösung  u∈C1(Ω; R)  von
∇u = f .

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Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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