Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Transponierter Operator

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Sachverzeichnis

Transponierter Operator

Definition (Transponierter Operator) [sect:1-6]

Sei L : C^m(Ω; R^N) → C⁰(Ω; R^M) ein klassischer Differentialoperator der Ordnung m mit C^m -Koeffizienten (wie in sect:1-1):

L(u) =

∑

|α|≦m

a_α∂^αu , a_α∈C^m(Ω; R^M×N).

Dann gibt es genau einen klassischen linearen Differentialoperator L^T : C^m(Ω; R^M) → C⁰(Ω; R^N) der Ordnung m mit

∫

L^T(v)•u dLⁿ =

∫

v•L(u) dLⁿ

für alle u∈C^m(Ω; R^N) und alle v∈C^m₀(Ω; R^M) . Der Differentialoperator L^T ist gegeben durch

L^T(v) =

∑

|α|≦m

(-1)^|α| ∂^α(a_α^T v) .

Wir nennen L^T den zu L transponierten Operator oder formal adjungierten Operator.

Beweis. Seien u , v wie oben gegeben. Es gilt:

∫

v•L(u) dLⁿ

∑

|α|≦m

∫

v•(a_α∂^αu) dLⁿ

∑

|α|≦m

∫

(a_α^T v) •∂^αu dLⁿ

∑

|α|≦m

(-1)^|α|

∫

∂^α(a_α^T v)•u dLⁿ (partielle Integration)

∫

L^T(v)•u dLⁿ ,

wenn L^T wie oben definiert ist. Dass L^T ein Differentialoperator wie in sect:1-1 ist, folgt aus der LEIBNIZ-Regel (Beweis siehe unten): Es gilt

∂^α(vw) =

∑

β : 0≦β≦α

(

)

∂^α-βv ∂^βw

für Funktionen v,w∈C^m(Ω) , wobei

(

)

∏

i=1

(

α_i

β_i

)

Wenden wir nun diese LEIBNIZ-Regel auf den transponierten Operator an, so erhalten wir

L^T(v)

∑

|α|≦m

∑

β : 0≦β≦α

(-1)^|α|

(

)

∂^α-β a^T_α ∂^βv

∑

|β|≦m

(

∑

α : |α|≦m, α≧β

(-1)^|α|

(

)

∂^α-βa^T_α ) ∂^βv ,

was die Darstellung von L^T wie in sect:1-1 ist.

Bemerkung: Wir sehen damit auch, dass es reichen würde, a_α∈C^|α|(Ω' ; R^M×N) vorauszusetzen (siehe sect:1-7-(3) unten).

Zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit von L^T . Wenn M die gleiche Eigenschaften wie L^T aus sect:1-6 hat, folgt für alle u , v

∫

( L^T(v)-M(v) ) •u = 0 .

Mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung aus [Analysis III:Fundamentallemma] erhält man L^T(v)-M(v)=0 für alle v∈C₀^m(Ω; R^M) . Wir behaupten, dass dies dann auch für alle v∈C^m(Ω;R^M) gilt, was L^T=M bedeutet.

Zum Beweis sei v∈C^m(Ω; R^M) und x∈Ω . Wähle ein η∈C₀^m(Ω) so, dass η=1 in einer Umgebung von x . Dann ist L^T(ηv)=M(ηv) , außerdem ∂^α(ηv)(x)=∂^αv(x) für alle |α|≦m . Wegen der Darstellung der Operatoren L^T und M folgt daher L^T(ηv)(x) = L^T(v)(x) sowie M(ηv)(x) = M(v)(x) . Da dies für alle x∈Ω gilt, ist also L^T(v) = M(v) .

Beweis der LEIBNIZ-Regel. Zu zeigen ist

[eq:1-leibniz]

∂^α(vw)=

∑

0≦β≦α

(

)

∂^α-βv ∂^βw .

Dies wird induktiv nach α bewiesen: Mit γ=α+e_i gilt

∂_i∂^α-β v

∂^γ-βv ,

∂_i∂^βw

∂^β+e_i w .

Damit ergibt sich

∂^γ(vw)

∂_i∂^α(vw)

∑

β: 0≦β≦α=γ-e_i

(

)

∂^γ-βv ∂^βw +

∑

e_i≦β≦γ

(

β-e_i

)

∂^γ-βv ∂^βw

∑

β: e_i≦β≦γ-e_i

(

γ-e_i

)

(

γ-e_i

β-e_i

)

) ∂^γ-βv ∂^βw

∑

β: β_i=0

(

)

∂^γ-βv ∂^βw +

∑

β: β_i=γ_i

(

γ-e_i

β-e_i

)

∂^γ-βv ∂^βw

∑

β: e_i≦β≦γ-e_i

(

)

∂^γ-βv ∂^βw

∑

β: β_i=0

(

)

∂^γ-βv ∂^βw +

∑

β: β_i=γ_i

(

)

∂^γ-βv ∂^βw

∑

β: 0≦γ≦β

(

)

∂^γ-βv ∂^βw .

Bemerkung [sect:1-7]

[sect:1-7-(1)] Sei L(u)= ( ∑ _j=1^N L_ij(u_j) ) _i=1,... M . Dann ist

(L_ij)^T=(L^T)_ji.

[sect:1-7-(2)] (L^T)^T=L .

[sect:1-7-(3)] Zur Existenz des transponierten Operators L^T reicht es vorauszusetzen, dass für die Koeffizienten a_α∈C^|α|(Ω; R^M×N) .

Beweis sect:1-7-(1). Mit der Darstellung von L in sect:1-6 ist

L_ij(w) =

∑

α: |α|≦m

(a_α)_ij∂^αw ,

also

(L_ij)^T(w) =

∑

α: |α|≦m

(-1)^|α| ∂^α ( (a_α)_ji w ) ,

und nach der Darstellung von L^T in sect:1-6

(L^T)_ij(w) =

∑

α: |α|≦m

(-1)^|α| ∂^α ( (a^T_α)_ij w ) .

Nun ist aber (a^T_α)_ij=(a_α)_ji .

Beweis sect:1-7-(2). Für u∈C₀^m(Ω; R^N) und v∈C₀^m(Ω; R^M) ist nach sect:1-6

∫

v •L(u) dLⁿ =

∫

L^T(v)•u dLⁿ =

∫

u•L^T(v) dLⁿ =

∫

( L^T ) ^T(u)•v dLⁿ

Nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung aus [Analysis III:Fundamentallemma] folgt also

L(u) = ( L^T ) ^T(u) für alle u∈C₀^m(Ω; R^N) .

Wie im Beweis der Eindeutigkeit in sect:1-6 folgt dies dann auch für alle u∈C^m(Ω; R^N) , d.h. L= ( L^T ) ^T .

Beweis sect:1-7-(3). Siehe Beweis von sect:1-6.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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