Contents (LaTeX)

Linear differential operators  chap:1

Definition (Classical linear differential operators)  sect:1-1
Examples  sect:1-2
Special solutions  sect:1-3
Existence theorem for Gradient (POINCARÉ Lemma)  sect:1-4
Beispiele  sect:1-5
Definition (Transposed operator)  sect:1-6
Remark  sect:1-7
Beispiele  sect:1-8
Definition (Distribution of a function)  sect:1-9
Folgerungen  sect:1-10
Definition (Distributionen)  sect:1-11
Definition (Distributional solution)  sect:1-12
Definition (Weak derivative)  sect:1-13
Satz  sect:1-14
Satz  sect:1-15
Theorem  sect:1-16
Satz (TAYLOR-Entwicklung)  sect:1-17
Definition (LANDAU-Symbole)  sect:1-17def
Theorem  sect:1-18

Fundamental solutions  chap:2

DIRAC distribution  sect:2-1
Definition (Fundamental solution)  sect:2-2
Satz (Gewöhnliche Differentialgleichung)  sect:2-3
Satz (Integraldarstellung für L(u)=u′ )  sect:2-4
Theorem  sect:2-5
Theorem (ODE system)  sect:2-6
Theorem (Divergence operator)  sect:2-7
Beispiel (Maß als Fundamentallösung)  sect:2-8
Beispiel (Gradient)  sect:2-10
Approximationssatz  sect:2-11

Holomorphic functions  chap:3

Definition (CAUCHY-RIEMANN operator)  sect:3-0
Fundamental solution  sect:3-1
Conclusion  sect:3-2
Proposition  sect:3-3
Definition  sect:3-gauss
Satz (Darstellung durch Potenzreihen)  sect:3-4
Satz  sect:3-5
Satz (Potenzreihen in C )  sect:3-6
Folgerung  sect:3-7
Elementare Funktionen  sect:3-8
Argumentfunktion  sect:3-9
Lemma  sect:3-10
Lemma  sect:3-11
Definition (Windungszahl)  sect:3-12
Definition (Logarithmus)  sect:3-13
Potenzreihe des Logarithmus  sect:3-14
Potenz- und Wurzelfunktionen  sect:3-15
BINOMI'sche Formel (Potenzreihe der Wurzelfunktion)  sect:3-16
Arcusfunktionen (am Beispiel des Arcussinus)  sect:3-17
Konforme Abbildungen  sect:3-18
(Gebrochen) lineare Transformationen  sect:3-19
Satz (Allgemeiner Satz von LIOUVILLE)  sect:3-20
Satz (Maximumprinzip)  sect:3-21
Identitätssatz  sect:3-22

Isolated Singularities  chap:4

Satz (Hebbare Singularitäten)  sect:4-1
Satz (LAURENT-Reihe)  sect:4-2
Lemma  sect:4-3
Definition (Isolierte Singularitäten)  sect:4-4
Definition (Residuum)  sect:4-5
Beispiele  sect:4-6
Residuensatz  sect:4-7
Bemerkung  sect:4-8
Integration rationaler Funktionen auf R   sect:4-9
Integration periodischer Funktionen  sect:4-10
Integration von Potenzen auf [0, ∞[   sect:4-11

Harmonic functions  chap:5

Definition (LAPLACE operator)  sect:5-0
Definition  sect:5-def
Fundamental solution  sect:5-1
Conclusion  sect:5-2
Example (Gravitational potential)  sect:5-example
Reihendarstellung für n=2   sect:5-3
Boundary operator  sect:5-4
GREEN function and POISSON function  sect:5-5
(Inhomogeneous) POISSON integral  sect:5-6
GREEN'sche Funktion für die Kugel  sect:5-7
Satz  sect:5-8
Potenzreihen im Rⁿ   sect:5-9
Satz über Taylorreihe  sect:5-10
Definition  sect:5-11
Beispiel  sect:5-12
Satz  sect:5-13
Folgerung (Eindeutigkeit der Fundamentallösung)  sect:5-14
Satz (Allgemeiner Satz von LIOUVILLE)  sect:5-15
Maximumprinzip  sect:5-16
Identitätssatz  sect:5-17
Anwendungen des Maximumprinzips  sect:5-18
Anwendung des LIOUVILLE'schen Satzes  sect:5-19
Proposition  sect:5-20

Heat equation  chap:6

Definition (Heat operator)  sect:6-0
Fundamental solution  sect:6-1
Conclusion  sect:6-2
Integraldarstellung  sect:6-3
Folgerung (Regularitätssatz)  sect:6-4
CAUCHY-Problem  sect:6-5
Vergleichsprinzip  sect:6-6
Satz  sect:6-7
Maximumprinzip  sect:6-8

Wave equation  chap:7

Definition (Wave operator)  sect:7-0
Fundamental solution for n=1   sect:7-1
Folgerung  sect:7-2
Satz (CAUCHY-Problem)  sect:7-3
Satz ( 4 -Punkte-Regel)  sect:7-4
Satz (Anfangsrandwertproblem auf einem Intervall)  sect:7-5

Appendix 1  chap:app1

Beweis zum CAUCHY-Problem  sect:app1-3
Beweis zum Anfangsrandwertproblem  sect:app1-5

Appendix 2  chap:app2

Fundamentallösung für n=2   sect:app2-2d
Fundamentallösung für n=3   sect:app2-3d
Mittelwertfunktion  sect:app2-mean

Exercises  chap:Aufgaben

Polar coordinates  aufgabe:1
Polar coordinates  aufgabe:2
Harmonic functions  aufgabe:3
Product ansatz  aufgabe:4
Radial symmetric solutions  aufgabe:5
Transposed operator  aufgabe:6
Stream function  aufgabe:7
Differential equation of stream functions  aufgabe:8
Weak derivative  aufgabe:9
Gravitational potential  aufgabe:10
Jump condition  aufgabe:11
Singularity function  aufgabe:12
Fundamental solution  aufgabe:13
Weak solution  aufgabe:14
Fundamental solution  aufgabe:15
Exponential function  aufgabe:16
Conjugate harmonic function  aufgabe:17
Linear transformations in C   aufgabe:18
Reflexion principle of SCHWARZ  aufgabe:19
Radius of convergence  aufgabe:20
Trigonometric functions  aufgabe:21
Winding number  aufgabe:22
Boundary value problem  aufgabe:23
Antiholomorphic functions  aufgabe:24
External domain  aufgabe:25
Complex sin -function  aufgabe:26
Conformal transformation  aufgabe:27
Order of a pole  aufgabe:28
LAURENT series  aufgabe:29
Isolated singularities  aufgabe:30
Improper integrals  aufgabe:31
CAUCHY's residue theorem  aufgabe:32
Fundamental solution  aufgabe:33
DIRICHLET integral  aufgabe:34
Biharmonic equation  aufgabe:35
HARNACK inequality  aufgabe:36
Superharmonic functions  aufgabe:37
GREEN function for halve space  aufgabe:38
Power series in Rⁿ   aufgabe:39
HARNACK inequality  aufgabe:40
Subharmonic functions  aufgabe:41
LIOUVILLE theorem  aufgabe:42
GREEN function for halve space  aufgabe:43

Tables TABLES

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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Linear differential operators

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