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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Appendix 2
[chap:app2]


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Hier sind einige Aussagen über die Wellengleichung für mehr als eine Raumdimension zusammengestellt. Dafür wäre eine zusätzliche Vorlesungsdoppelstunde erforderlich gewesen. Wir geben Fundamentallösungen der Wellengleichung für Raumdimensionen  n=2  und  n=3  an.

Die Fundamentallösung der Wellengleichung für  n=1  hat auch eine Singularitäten außerhalb des Ursprungs (es handelt sich um einen Sprung auf dem Rand des Lichtkegels). Diese Singularitäten werden stärker bei steigender Raumdimension  n . Für  n=2  ist die Fundamentallösung noch eine lokal integrierbare Funktion, deren Werte am Rande des Lichtkegels, also  {(t,x) ; |x|=ct} , gegen unendlich gehen. Für  n=3  ist die Fundamentallösung nur noch ein Maß in  R×R3 . Der Träger dieses Maßes liegt auf dem Rande des Lichtkegels.

Fundamentallösung für  n=2     [sect:app2-2d]
Durch
F(t,x):=
c
2π
1
 
sqrt((ct)2-|x|2)
    für |x|<ct ,
0
    sonst ,
ist eine Fundamentallösung  F∈L1loc(R×R2)  des Wellenoperators  L=1/c2∂t2-Δ  für die Raumdimension  n=2  gegeben.

Proof. Man sieht leicht, dass  F  lokal integrierbar ist (nach [Analysis III:Singularität] in einer Raumdimension bezüglich der Variablen  ct-|x| , wenn man geeignet wie unten Polarkoordinaten, den Transformationssatz und den Satz von FUBINI anwendet).

Für  ζ∈C0∞(R×R2)  ist, da  F  im Raum radialsymmetrisch ist, unter Benutzung der Mittelwertfunktion in sect:app2-mean und Polarkoordinaten im  R2  (siehe [Analysis III:Polarkoordinaten] )

(
1
 
c2
 ∂t2-Δ)[F](ζ)
=
 
 
∫
R×R2
 (
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ(t,x) F(t,x) dL3(t,x)
=
∞
∫
0
 
 
∫
{x∈R2 ; |x|<ct}
 (
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ(t,x)
c
2π
1
 
sqrt((ct)2-|x|2)
 dL2(x)dL1(t)
=
∞
∫
0
ct
∫
0
 M((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)(t,r)
cr
 
sqrt((ct)2-r2)
 dr dt .
Wir transformieren nun auf die  (ξ,η) -Koordinaten in sect:app2-mean (mit  α=1/2  in eq:app2-mean2), also
t =
ξ+η
2c
 ,  r =
ξ-η
2
 ,  dL2(t,r) =
1
2c
 dL2(ξ,η) ,
M((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)(t,r) =
4
sqrt(r)
∂
∂ξ
 ( sqrt(r)∂ηϕ(ξ,η) ) -
1
r
 ∂ξϕ(ξ,η) ,
sqrt((ct)2-r2) = sqrt(ξη) .
Damit wird obiges Integral auf der rechten Seite zu
=
 
∫
{(ξ,η) ; 0<η<ξ}
 (
4
sqrt(r)
∂
∂ξ
 ( sqrt(r)∂ηϕ(ξ,η) ) -
1
r
 ∂ξϕ(ξ,η) )
cr
sqrt(ξη)
1
2c
 dL2(ξ,η)
=
1
2
∞
∫
0
∞
∫
η
 (
4 sqrt(r)
sqrt(ξη)
∂
∂ξ
 ( sqrt(r)∂ηϕ(ξ,η) ) -
1
sqrt(ξη)
 ∂ξϕ(ξ,η) ) dξdη.
Dieses Integral ist der Limes für  ε → 0  von
1
2
∞
∫
ε
∞
∫
η
 (
4 sqrt(r)
sqrt(ξη)
∂
∂ξ
 ( sqrt(r)∂ηϕ(ξ,η) ) -
1
sqrt(ξη)
 ∂ξϕ(ξ,η) ) dξdη,
d. h. die Singularität am Rande des Lichtkegels wird herausgestochen. Durch partielle Integration bezüglich  ξ  ergibt sich, dass dies (es ist  r=0  für  ξ=η )
=
1
2
∞
∫
ε
∞
∫
η
 ( -
∂
∂ξ
 (
4 sqrt(r)
sqrt(ξη)
 ) sqrt(r)∂ηϕ(ξ,η) +
∂
∂ξ
 (
1
sqrt(ξη)
 ) ϕ(ξ,η) ) dξdη
+
1
2
∞
∫
ε
1
η
 ϕ(η,η) dη.
Nun ist
∂
∂ξ
 sqrt(r) =
1
4 sqrt(r)
 ,     
∂
∂ξ
 (
1
sqrt(ξη)
 ) = -
1
2ξ sqrt(ξη)
 ,
und somit
sqrt(r)
∂
∂ξ
 (
4 sqrt(r)
sqrt(ξη)
 ) =
1
sqrt(ξη)
 -
2r
ξ sqrt(ξη)
 =
η
ξ sqrt(ξη)
 .
Also ist obiges Doppelintegral (nach Vertauschung der beiden Integrale)
=
1
2
∞
∫
ε
1
 
ξ3/2
ξ
∫
ε
 ( - sqrt(η)∂ηϕ(ξ,η) -
1
2 sqrt(η)
 ϕ(ξ,η) ) dηdξ.
Nun integrieren wir partiell bezüglich  η  und erhalten, dass dies (wegen  ∂η sqrt(η) = 1/2 sqrt(η) )
=
1
2
∞
∫
ε
1
 
ξ3/2
 ( - sqrt(η) ϕ(ξ,η)
η=ξ 
η=ε 
) dξ
=
-
1
2
∞
∫
ε
1
ξ
 ϕ(ξ,ξ) dξ+
1
2
∞
∫
ε
sqrt(ε)
 
ξ3/2
 ϕ(ξ,ε) dξ.
Das erste Integral hebt sich gegen das oben aufgetretene Integral weg. Es bleibt also zu berechnen
1
2
∞
∫
ε
sqrt(ε)
 
ξ3/2
 ϕ(ξ,ε) dξ=
1
2
∞
∫
1
1
 
s3/2
 ϕ(εs,ε) ds .
Für  ε → 0  konvergiert dies
-->
1
2
 ϕ(0,0)
∞
∫
1
1
 
s3/2
 ds = ϕ(0,0) = ζ(0) .
Damit ist die Behauptung bewiesen.

Fundamentallösung für  n=3     [sect:app2-3d]
Die Distribution  F∈D'(R×R3) , gegeben durch
F :=
c
4π|x|
 (L1×H2)┗ ∂K ,
definiert eine Fundamentallösung des Wellenoperators  L=1/c2∂t2-Δ  für die Raumdimension  n=3 . Dabei ist
K:={(t,x)∈R×R3 ; |x|<ct}
der Lichtkegel.
Zu den Bezeichnungen: Hierbei bezeichnet  μ:= (L1×H2)┗ ∂K  das Produktmaß aus dem LEBESGUEmaß  L1  in der Zeit und dem Oberflächenmaß  H2  im Ort, und zwar auf dem Rand  ∂K = {(t,x)∈R×R3 ; |x|=ct}  des Lichtkegels. (Vergleiche hierzu auch sect:5-example-(2).) Das heißt,  μ  ist gegeben durch
∫ ϕdμ
=
∞
∫
0
 
 
∫
{x∈R3 ; |x|=ct}
 ϕ(t,x) dH2(x) dL1(t)
=
∞
∫
0
 (ct)2
 
 
∫
S2
 ϕ(t,cty) dH2(y) dL1(t)
für  ϕ∈C00(R×R3) . Damit sieht man, dass auch die Funktion  (t,x)  |→ 1/4π|x| ϕ(t,x)  integrierbar bezüglich  μ  ist mit
∫
1
4π|x|
 ϕ(t,x) dμ(t,x) =
∞
∫
0
ct
4π
 
 
∫
S2
 ϕ(t,cty) dH2(y) dL1(t) .
Also ist die Distribution  F  gegeben durch
F(ζ) =
∞
∫
0
c2t
4π
 
 
 
∫
S2
 ζ(t,cty) dH2(y) dL1(t)
für  ζ∈C0∞(R×R3) . Mit der Mittelwertfunktion in sect:app2-mean wird dies zu
F(ζ) =
∞
∫
0
 c2t M(ζ)(t,ct) dt .

Proof. Analog zum Beweis von sect:app2-2d ist für  ζ∈C0∞(R×R3)  unter Benutzung obiger Darstellung von  F 
(
1
 
c2
 ∂t2-Δ)F(ζ) = F((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)
=
∞
∫
0
c2t
4π
 
 
 
∫
S2
 ((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)(t,cty) dH2(y) dL1(t)
=
∞
∫
0
 c2t M((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)(t,ct) dt .
Nach sect:app2-mean ist nun (mit  α=1  in eq:app2-mean2)
M((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)(t,r) =
4
r
∂
∂ξ
 ( r∂ηϕ(ξ,η) ) -
2
r
 ∂ξϕ(ξ,η) .
Für  r=ct , also
η= 0,   r =
1
2
 ξ,  t =
1
2c
 ξ,  dt =
1
2c
 dξ,
wird obiges Integral zu
=
∞
∫
0
cξ
2
 (
4
r
∂
∂ξ
 ( r∂ηϕ(ξ,0) ) -
2
r
 ∂ξϕ(ξ,0) )
1
2c
 dξ
=
∞
∫
0
ξ
4
 (
4
ξ
∂
∂ξ
 ( ξ∂ηϕ(ξ,0) ) -
4
ξ
 ∂ξϕ(ξ,0) ) dξ
=
∞
∫
0
 (
∂
∂ξ
 ( ξ∂ηϕ(ξ,0) ) - ∂ξϕ(ξ,0) ) dξ
=
ϕ(0,0) = ζ(0) ,
wobei zuletzt bezüglich  ξ  partiell integriert wurde. Damit ist die Behauptung bewiesen.

Für die Behandlung des Wellenoperators in Raumdimensionen  n>1  ist Folgendes wichtig:

Mittelwertfunktion    [sect:app2-mean]
Die Koordinaten  (t,x)∈(R×R3)∖{0}  werden zunächst auf Polarkoordinaten  (t,r,y)∈R×]0,∞[×S2  transformiert:
r = |x| , y =
x
|x|
 ,     also x = ry .
Betrachte glatte Funktionen  ζ∈C0∞(R×Rn)  und dazu die Mittelwertfunktion
M(ζ)(t,r)
:=
1
 
Hn-1(∂Br(0))
 
 
∫
∂Br(0)
 ζ(t,x) dHn-1(x)
=
1
 
ϭn
 
 
∫
Sn-1
 ζ(t,ry) dHn-1(y) .
Der Wellenoperator  L=1/c2∂t2-Δ  hat folgende Darstellung in Polarkoordinaten: Mit  ζ̃(t,r,y):=ζ(t,ry)  ist
[eq:app2-polar]
(
1
 
c2
 ∂t2-Δ) ζ(t,ry) = (
1
 
c2
 ∂t2 -∂r2 -
n-1
r
 ∂r -
1
 
r2
 ΔSn-1 )ζ̃(t,r,y) ,
wobei  ΔSn-1  der LAPLACE-BELTRAMI-Operator der  (n-1) -dimensionalen Einheitssphäre  Sn-1  ist. Es folgt:
[eq:app2-mean1]
M((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)(t,r) = (
1
 
c2
 ∂t2 M(ζ) -∂r2 M(ζ) -
n-1
r
 ∂r M(ζ) ) (t,r) .
Nun werden die Koordinaten  (t,r)∈R×]0,∞[  auf das Gebiet  {(ξ,η)∈R2 ; η<ξ}  (ähnlich wie im Beweis von sect:7-4) transformiert vermöge
ξ= ct + r , η= ct -r ,     also r =
ξ-η
2
 ,  t =
ξ+η
2c
 .
Mit
ϕ(ξ,η) := M(ζ)(
ξ+η
2c
 ,
ξ-η
2
 ) ,     also M(ζ)(t,r) = ϕ(ct+r,ct-r) ,
folgt dann für  t=ξ+η/2c  und  r=ξ-η/2 
[eq:app2-mean2]
M((
1
 
c2
 ∂t2-Δ)ζ)(t,r) =
4
 
rα
∂
∂ξ
 ( rα∂ηϕ(ξ,η) ) -
2α
r
 ∂ξϕ(ξ,η)
mit
α:=
n-1
2
 .

Proof eq:app2-mean1. Die obige Darstellung des Wellenoperators eq:app2-polar in Polarkoordinaten benutzt nur die entsprechende Darstellung für den LAPLACE-Operator. In dieser Darstellung ist über die Einheitssphäre (also über  y∈Sn-1 ) zu integrieren. Die linke Seite von eq:app2-polar wird damit zur linken Seite in eq:app2-mean1. Bei den ersten drei Termen der rechten Seite von eq:app2-polar vertauschen sich die Ableitungen mit dem Integral, was die rechte Seite in eq:app2-mean1 ergibt.

Zum letzten Term auf der rechten Seite von eq:app2-polar ist

 
 
∫
Sn-1
 ΔSn-1ζ(t,r,y) dHn-1(y)
=
 
 
∫
Sn-1
 div Sn-1(∇Sn-1 ζ)(t,r,y) dHn-1(y) = 0
nach Definition des LAPLACE-BELTRAMI-Operators (siehe [Analysis III:Laplace-Beltrami] ) und nach dem Satz [Analysis III:Partielle Integration] über partielle Integration auf Flächen für Tangentialfelder.
Proof eq:app2-mean2. Mit  ψ:=M(ζ)  ist
ψ(t,r) = ϕ(ct+r,ct-r) .
Daraus ergibt sich (wie im Beweis von sect:7-4), wobei die Argumente weggelassen werden,
∂tψ
=
c ∂ξϕ+ c ∂ηϕ,
∂t2ψ
=
c2 ∂α2ϕ+ c2 ∂η2ϕ+ 2 c2 ∂ξ∂ηψ,
∂rψ
=
∂ξϕ- ∂ηϕ,
∂r2ψ
=
∂ξ2ϕ+ ∂η2ϕ- 2 ∂ξ∂ηϕ.
also für die rechte Seite von eq:app2-mean1
1
 
c2
 ∂t2ψ-∂r2ψ-
n-1
r
 ∂rψ
= 4 ∂ξ∂ηψ-
n-1
r
 (∂ξϕ- ∂ηϕ) .
Nun ist für  α>0  und jede glatte Funktion  (ξ,η) |→ w(ξ,η)  (beachte, dass  r=ξ-η/2 )
∂
∂ξ
 ( rαw )
=
rα∂ξw +
α
2
 rα-1 w
=
rα
4
 
 ( 4 ∂ξw +
2α
r
 w ) ,
also
4 ∂ξw +
2α
r
 w =
4
 
rα
∂
∂ξ
 ( rαw ) .
Mit  α:=n-1/2  und  w:=∂ηϕ  folgt die Behauptung.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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