Wave equation Wave equation
Titlepage Titlepage
Appendix 2 Appendix 2
Appendix 2 Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Appendix 1
[chap:app1]


english This node has not yet been translated
This is the original german version german


Als Anhänge stellen wir Aussagen zur Wellengleichung zusammen, für die in der Vorlesung nicht mehr genügend Zeit war. Hier die Beweise von sect:7-3 und sect:7-5. In einem zweiten Anhang (siehe Kapitel chap:app2) werden dann die Fundamentallösungen der Wellengleichung für Raumdimensionen  n=2  und  n=3  behandelt.

Beweis zum CAUCHY-Problem    [sect:app1-3]
In sect:7-3 wird zu  u0, u1 ∈C0(R)  die Funktion
u(t,x) :=
1
2
 ( u0(x+ct) + u0 (x-ct) ) +
1
2c
x+ct
∫
x-ct
 u1(y) dy
für  (t,x) ∈]0,∞[ ×R)  definiert. Es soll gezeigt werden, dass dadurch ein  u ∈C0([0,∞[ ×R)  gegeben ist, welches "schwache Lösung" des folgenden CAUCHY-Problems ist:
1
 
c2
 ∂t2 u(t,x) - ∂x2 u(t,x)
= 0
    für t>0, x∈R,
u(0,x)
= u0(x)
    für x∈R,
∂t u(0,x)
= u1(x)
    für x∈R.

Proof sect:7-3. Betrachte zunächst irgendeine Funktion  fε∈L1([-ε,0]×R)  und definiere dazu wie in sect:7-2 (mit  fε(s,y):=0  für  s∉[-ε,0] )
uε(t,x)
:=
c
2
t
∫
-∞
x+c(t-s)
∫
x-c(t-s)
 fε(s,y) dy ds
=
c
2
0
∫
-ε
x+c(t-s)
∫
x-c(t-s)
 fε(s,y) dy ds .
Da  fε(s,y)=0  für  s>0 , löst  uε  nach sect:7-2
1
 
c2
 ∂t2 [uε] - ∂x2[uε] = 0     in D'(]0,∞[×R) .
Wir werden nun spezielle Funktionen  fε  wählen, so dass  uε  lokal in  ]0,∞[ ×R  gleichmäßig in  ε  beschränkt sind und punktweise gegen eine Funktion  u  konvergieren. Da dann also  uε → u  in  L1loc(]0,∞[×R) , folgt dass
[eq:73-1]
1
 
c2
 ∂t2 [u] - ∂x2[u] = 0     in D'(]0,∞[×R) .
Zur Wahl von  fε  gehe von einer Standard-DIRAC-Folge  (ϕε)ε> 0  in der Zeit aus, also  ϕε(t) = 1/εϕ(t/ε) , wobei  ϕ∈C0∞(]-ε,0[)  sei (mit  ϕ≧0  und  ∫ RϕdL1=1 ). Setze
fε(s,y) =
1
 
c2
 ( ϕε′(s) u0(y) + ϕε(s) u1(y) ) .
Dann ist  uε=u0ε+u1ε , wobei  u0ε  der Anteil von  u0  und  u1ε  der Anteil von  u1  ist. Für  (t,x)∈]0∞[×R  ist
u1ε(t,x) =
1
2c
0
∫
-ε
 ϕε(s)
x+c(t-s)
∫
x-c(t-s)
 u1(y) dy ds .
Man sieht leicht, dass  u1ε(t,x)  lokal gleimäßig beschränkt sind. Da für jedes  (t,x) 
x+c(t-s)
∫
x-c(t-s)
 u1(y) dy → 
x+ct
∫
x-ct
 u1(y) dy
für  s → 0  und da die Funktionen  ϕε  Gesamtmasse  1  haben, folgt daraus, dass
u1ε(t,x) → u1(t,x) :=
1
2c
x+ct
∫
x-ct
 u1(y) dy .
Nun zu  u0ε(t,x) . Es ist
u0ε(t,x) =
1
2c
0
∫
-ε
 ϕε′(s)
x+c(t-s)
∫
x-c(t-s)
 u0(y) dy ds .
Durch partielle Integration im äußeren Integral erhält man
u0ε(t,x) =
1
2
0
∫
-ε
 ϕε(s) (u0(x+c(t-s)) + u0(x-c(t-s))) ds .
Dann folgt analog zur Konvergenz von  u1ε  gegen  u1 , dass
u0ε(t,x) → u0(t,x) :=
1
2
 (u0(x+ct) + u0(x-ct)) .
Damit folgt, dass punktweise  uε=u0ε+u1ε → u:=u0+u1 , und dass  u  schwache Lösung der homogenen Wellengleichung in  ]0,∞[×R  ist.

Es ist leicht zu sehen, dass  u ∈C0(]0,∞[ ×R) . Es bleiben also die Aussagen bezüglich der Anfangswerte zu zeigen. Betrachte  (t,x)∈]0,∞[×R  mit  (t,x) → (0,y0) . Dann gilt

u0(t,x) - u0(y0) =
1
2
 (u0(x+c(t-s)) - u0(y0)) +
1
2
 (u0(x-c(t-s)) - u0(y0)) → 0
für  (t,x) → (0,y0)  wegen der Stetigkeit von  u0 . Weiter ist für  (t,x)  nahe  (0,y0) 
| u1(t,x) | = |
1
2c
x+ct
∫
x-ct
 u1(y) dy | ≦t ·
 
 
sup
|y-y0|≦1
 |u1(y)| → 0
für  (t,x) → (0,y0) . Damit ist gezeigt, dass  u  auf  [0,∞[×R  stetig fortseztbar ist mit  u(0,y)=u0(y)  für  y∈R .

Es bleibt die Anfangsbedingung  ∂t u(0,x) = u1(x)  im Sinne der Behauptung zu beweisen. Mit

v(t,x) :=
1
t
 (u(t,x) -u0(x)) - u1(x)
ist also zu zeigen, dass für  ζ∈C0∞(R) 
[v(t,·)](ζ) → 0     für t↘0 .
Zerlege  v=v0+v1  mit
v0(t,x) :=
1
t
 (u0(t,x) - u0(x)) ,     v1(t,x) :=
1
t
 u1(t,x) - u1(x) .
Nun ist
[v0(t,·)](ζ)
=
1
t
 
∫
R
 ζ(x) (
1
2
 (u0(x+ct) + u0(x-ct)) - u0(x) ) dx
=
 
∫
R


1
t
 (
ζ(x-ct) + ζ(x+ct)
2
 - ζ(x) )
=O(t) für t → 0
 u0(x) dx .
Weiter ist
[v1(t,·)](ζ)
=
 
∫
R
 ζ(x) (
1
2ct
x+ct
∫
x-ct
 u1(y)dy - u1(x) ) dx
=
 
∫
R
 

(
1
2ct
y+ct
∫
y-ct
 ζ(x)dx - ζ(y) )
=O(t2) für t → 0
 u1(y) dy .
Damit ist gezeigt, dass
[v(t,·)](ζ) = O(t)     für t↘0 .

Proof sect:7-3 Zusatz. Es ist
∂t u(t,x) =
c
2
 ( ∂t u0(x+ct) - ∂t u0 (x-ct) ) +
1
2
 ( u1(x+ct) + u1(x-ct) ) ,
was für  (t,x) → (0,y0)  gegen  u1(y0)  konvergiert.

Beweis zum Anfangsrandwertproblem    [sect:app1-5]
In sect:7-5 werden auf dem Rand des Zeitraumgebiets  [0,∞[ ×[xl,xr] ⊂R×R  Anfangsdaten  u0, u1 ∈C0([xl,xr])  vorgegeben, sowie Randdaten  ul, ur∈C0([0,∞[)  mit den Kompatibilitätsbedingungen
ul(0) = u0(xl)     und    ur(0)=u0(xr) .
Es wird behauptet, dass es dazu genaue eine Lösung  u ∈C0([0,∞[ ×[xl,xr])  des folgenden Anfangsrandwertproblems gibt:
  • In  ]0,∞[ ×]xl,xr[  ist  u  schwache Lösung der Wellengleichung.
  • Auf  [0,∞[ ×{xl,xr}  hat  u  die Randwerte  u(t,xl)=ul(t)  und  u(t,xr)=ur(t) .
  • Auf  {0} ×]xl,xr[  werden die Anfangsdaten  u0  und  u1  im Sinne von sect:7-3 angenommen.

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Initial boundary value problem  [fig:7-5]

Proof sect:7-5 Existenz. Der Einfachheit halber sei  xl=-1  und  xr=+1  (die allgemeine Situation kann man durch Variablentransformation auf diese zurückführen). Zuerst betrachte die Menge (siehe Gebiet  (I)  in fig:7-5)
D1 := {(t,x)∈]0,∞[×]-1,1[ ; |x|< c(t1-t)} ,     t1 :=
1
c
 .
Dort definiere  u  nach der Formel in Satz sect:7-3 (siehe das zugehörige Dreieck im Gebiet  (I)  in fig:7-5). Nach sect:7-3 ergibt dies eine stetige Funktion  u  auf  clos(D1) .

Die weitere Konstruktion von  u  benutzt die  4 -Punkte-Regel aus sect:7-4. Im Gebiet (siehe Gebiet  (III)  in fig:7-5)

D3 := {(t,x)∈]0,∞[×]-1,1[ ; c|t-t1|<x}
werden dabei die Randwerte  ur  sowie die schon definierten Werte von  u  auf  ∂D1  benutzt (siehe das zugehörige Parallelogramm im Gebiet  (III)  in fig:7-5). Dies ergibt eine stetige Funktion  u  auf  clos(D3) , wobei die Stetigkeit in den Punkten  (0,1)  und  (t1,0)  aus der Kompatbilitätsbedingung  ur(0)=u0(1)  folgt. Analog ergibt sich  u  auf einem Gebiet  D2  (siehe Gebiet  (II)  in fig:7-5).

Als nächstes ist das Gebiet (siehe Gebiet  (IV)  in fig:7-5)

D4 := {(t,x)∈]0,∞[×]-1,1[ ;  |x|<c(t-t1), |x|<c(t2-t)}
zu betrachten. Nach der  4 -Punkte-Regel in sect:7-4 ergibt dies eine stetige Funktion  u  auf  clos(D4)  (siehe das zugehörige Parallelogramm im Gebiet  (IV)  in fig:7-5). Die weitere Konstruktion von  u  erfolgt dann nach demselben Schema (wie bei  D2 .  D3 ,  D4 ).

Durch iterierte Anwendung der  4 -Punkte-Regel (d. h. wenn ein Parallelogramm in  4  Teilparallelogramme zerlegt ist und die  4 -Punkte-Regel für die Teilparallelogramme gilt, so gilt diese auch für das gesamte Parallelogramm) sieht man dann, dass  u  insgesamt auf  ]0,∞[×]-1,1[  die  4 -Punkte-Regel erfüllt. Damit folgt nach sect:7-4, dass die so konstruierte Funktion  u  eine schwache Lösung der Wellengleichung ist.

Proof sect:7-5 Eindeutigkeit. Die Eindeutigkeit der Lösung kann mit Hilfe der  4 -Punkte-Regel in sect:7-4 bewiesen werden:

Sei  u ∈C0([0,∞[ ×[xl,xr])  die Differenz zweier Lösungen aus sect:7-5. Also ist  u  eine schwache Lösung des Anfangsrandwertproblems mit homogenen Daten, d. h.  u  ist schwache Lösung der Wellengleichung in  ]0,∞[ ×]xl,xr[  mit

  • Randbedingung  u(t,xl)=0  und  u(t,xr)=0  für  t>0 .
  • Anfangsbedingung  u(0,x)=0  für  xl<x<xr .
  • Für Testfunktionen  ζ∈C0∞(]xl,xr[)  konvergiert für  t↘0 
    xr
     
    ∫
    xl
     
    		 ζ(y)
    1
    t
    		 u(t,y) dy → 0 .
Nach sect:7-4 erfüllt  u  die  4 -Punkte-Formel. Weiter bezeichne  D1 ,  D2 , etc. die Gebiete aus dem obigen Beweis.

Wir nehmen zunächst an, dass schon gezeigt ist, dass  u=0  auf  D1 . Mit Hilfe der  4 -Punkte-Formel folgt dann wie in obigem Existenzbeweis wegen der verschwindenden Randwerte, dass  u=0  auf  D2 ,  D3 , und so weiter. Es bleibt also zu zeigen, dass  u=0  auf  D1 .

Sei  (t,x)∈D1  und  y  nahe  x . Dann gilt nach der  4 -Punkte-Formel

u(t,y) = u(
t
2
 ,y-
ct
2
 ) + u(
t
2
 ,y+
ct
2
 ) -


u(0,y)
=0
 .
Weiter gilt wieder nach der  4 -Punkte-Formel
u(
t
2
 , y-
ct
2
 ) = u(
t
4
 , y-
3ct
2
 ) + u(
t
4
 , y-
ct
4
 ) -


u(0,y-
ct
2
 )
=0
und entsprechend für  u(t/2 , y+ct/2) . Definiert man  tm:=2-mt  und  δm:=2-mct=ctm  für  m∈N∪{0} , so erhält man induktiv für  m∈N 
u(t,y) =
 
 
∑
k∈N : -2m-1≦k<2m
 u(tm , y+(2k+1)δm) .
Nun werde für  z  nahe  x  für großes  m  über  y∈[z-δm,z+δm]  integriert. Mit
ϕm(y) :=
1
 
2δm
 Χ[-δm,δm]     für m∈N∪{0}
ergibt dies
(ϕm ∗ u(t,·))(z)
=
1
 
2δm
z+δm
 
∫
z-δm
 
 u(t,y) dy
=
1
 
2δm
 
 
∑
k∈N : -2m-1≦k<2m
z+δm
 
∫
z-δm
 
 u(tm , y+(2k+1)δm) dy
=
1
 
2δm
z+ct
∫
z-ct
 u(tm , y) dy
=
1
 
δm
 (ϕ0 ∗ u(tm,·))(z) .
Diese Identität werde mit einer Funktion  ζ∈C0∞(R)  getestet, die Träger nahe  x  habe. Damit erhält man
 
∫
R
 (ζ∗ ϕm)(y) u(t,y) dy =
 
∫
R
 ζ(z) (ϕm ∗ u(t,·))(z) dz
=
1
 
δm
 
∫
R
 ζ(z) (ϕ0 ∗ u(tm,·))(z) dz
=
1
c
 
∫
R
 (ζ∗ ϕ0)(y)
u(tm,y)
 
tm
 
 dy ,
was nach den Eigenschaften über die Anfangswerte für  m → ∞  gegen  0  konvergiert. Auf der linken Seite konvergiert  ζ∗ ϕm → ζ  gleichmäßig für  m → ∞ . Also folgt, dass
 
∫
R
 ζ(y) u(t,y) dy = 0 .
Dies gilt für alle  ζ  mit Träger nahe  x , also folgt insbesondere, dass  u(t,x)=0 .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

Wave equation Wave equation
Titlepage Titlepage
Appendix 2 Appendix 2
Appendix 2 Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany