Harmonic functions [aufgabe:3]
- [aufgabe:3-(a)]
Sei V⊂C offen und g : V → R zweimal stetig reell
differenzierbar. Dann existiert
∂2g/∂ conj(z)∂z
in V und es gilt:
- [aufgabe:3-(b)]
Sei g wie in aufgabe:3-(a) und zusätzlich harmonisch.
Dann ist g2 genau
dann harmonisch in V, wenn g lokal konstant in V ist.
- [aufgabe:3-(c)]
Seien f : U → C und h : V → C Funktionen mit f(U)⊂V .
Ist f in z0 und h in f(z0)∈V reell differenzierbar,
dann ist h∘f in z0 reell differenzierbar und es gilt:
|
| |
| |
=
∂z h(f(z0))·∂z f(z0)+∂ conj(z) h(f(z0))·∂z conj(f)(z0), |
|
|
| |
=
∂z h(f(z0))·∂ conj(z) f(z0)+∂ conj(z) h(f(z0))·∂ conj(z) conj(f)(z0).
|
|
| |
|
|
- [aufgabe:3-(d)]
Seien f und h wie in b) und sei f zusätzlich holomorph.
Dann gilt
|
|
Δ(h∘f)=|∂z f|2 | ( | (Δh)∘f | ) | .
|
|
|
|
