Exercise 1 (Polar coordinates) Exercise 1 (Polar coordinates)
Exercises Exercises
Exercise 3 (Harmonic functions) Exercise 3 (Harmonic functions)
Exercise 3 (Harmonic functions) Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Exercise 2 (Polar coordinates)

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Polar coordinates    [aufgabe:2]
Sei  S:=∂B1(0)⊂Rn . Für  u∈C2(Rn∖{0})  definiere  v ∈C2 ( R+×S )   durch
v(r,ξ):=u(r ξ).
  • [aufgabe:2-(a)] Zeige, dass für den Gradient von  u  folgende Darstellung gilt:
    ∇u =∂r v er+
    1
    r
    		 ∇S  v,
    wobei  er(x):=x/|x|  und  ∇S  v  den Gradient von  v  bzgl. der zweiten Variablen auf der Fläche  S  bezeichnet.
  • [aufgabe:2-(b)] Zeige, dass
    Δu =
    1
     
    rn-1
    		  ∂r (rn-1∂r v)+
    1
     
    r2
    		 ΔS v.
    Hinweis: Für  ζ∈C0∞(Rn∖{0})  drücke
     
     
    ∫
    Rn
    		 ∇ζ•∇u dLn
    zunächst als Doppelintegral über Radius und Sphäre aus [Analysis III:Polarkoordinaten] . Nutze anschließend die Darstellung aus aufgabe:2-(a), sowie partielle Integration auf Flächen aus [Analysis III:Beispiel] .
Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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