Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Diffusion operator

CAUCHY-RIEMANN operator

Linear differential operators

Heat operator

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Diffusion operator

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Für u∈C²(Ω) sei

L(u)(x) := -

∑

i,j=1

∂_i(a_ij(x)∂_j(u)(x)) mit a_ij∈C¹(Ω).

Bemerkung: Dieser Operator ergibt sich, wenn man die Divergenz div q mit einem Flussvektor q = -a∇u betrachtet, wobei a= ( a_ij ) _i,j=1,...,n . Diesen Ansatz für q nennt man lineare Diffusion. Die Matrix (a_ij(x))_i,j=1,...,n heißt Diffusionsmatrix im Punkte x .

Spezialfall: Für a_ij(x)=δ_ij ist L=-Δ der negative LAPLACE-Operator.

Um L auf die allgemeine Form aus Definition sect:1-1 zu bringen, schreiben wir unter Benutzung der Produktregel:

L(u)(x) = -

∑

i,j

a_ij(x)∂_iju(x) -

∑

i,j

∂_i a_ij(x)∂_ju(x) .

Wegen der Symmetrie von ∂_iju in i und j können wir Koeffizienten a_α definieren als

a_{e_i+e_j}

(a_ij+a_ji) ,

a_{e_j}

∑

i=1

∂_i a_ij(x) ,

a_α

0 für alle anderen α,

und erhalten so eine Darstellung von L wie in sect:1-1.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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