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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Integraldarstellung auf  R×Rn 

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Integraldarstellung auf  R×Rn 
Sei  I=]t0,t1[  und  u∈C(1,2)(I×Rn)  mit  ∂tu-Δu=f , und  u,f  seien beschränkt. Dann gilt für  x∈Rn ,  t>t0 :
u(t,x) =
t
 
∫
t0
 
 
∫
Rn
 Ft,x(s,y)f(s,y) dy ds +
 
 
∫
Rn
 Ft,x(t0,y)u(t0,y) dy .

Proof. Wähle  ϕ0∈C0∞(]0,1[)  mit
1
∫
0
 ϕ0(r) dr = 1
und für großes  R  sei  ϕ(r) := ϕ0(R+r) . Wir betrachten dann die Integraldarstellung in sect:6-3 für  Ω= Br(x0)  mit  R<r<R+1 , wobei  x∈BR(x0) , und integrieren wie im vorigen Beweis auf. Wir erhalten
u(t,x)
=
1
∫
0
 ϕ0(r)
t
 
∫
t0
 
 
∫
BR+r(x0)
 (Ft,x f)(s,y) dy ds dr
+
1
∫
0
 ϕ0(r)
 
 
∫
BR+r(x0)
 Ft,x(t0,y)u(t0,y) dy dr
-
t
 
∫
t0
 
 
∫
∂B1(0)
R+1
∫
R
 u(s,x0+rξ) (ψ'(r)Ft,x(s,x0+rξ)
+2ψ(r)∇Ft,x(s,x0+rξ))•ξdr dHn-1(ξ) ds,
wobei wieder  ψ(r):=rn-1ψ(r) . Da  f  und  u  beschränkt sind, folgt aus den Integrierbarkeitseigenschaften von  Ft,x , dass die ersten beiden Terme für  R → ∞  gegen die gewünschten Terme konvergieren. Wir haben einzusehen, dass der letzte Term für  R → ∞  verschwindet. Da  r |→ ψ(r)  und  r |→ ψ'(r)  ein polynomoales Wachstum aufweisen, reicht es zu zeigen, dass
Ft,x(s,x0+rξ) und ∇Ft,x(s,x0+rξ)
für  r → ∞  gleichmäßig in  s∈[t0,t1] ,  |ξ|=1  exponentiell in  r  fallen. Das sieht man leicht an der expliziten Formel für die Fundamentallösung.

Behauptung
Ist  f  messbar und beschränkt,  u0∈L1(Rn) , so ist durch obige Integraldarstellung auf  R×Rn  (mit  u(t0,y)=u0(y) ) eine Lösung von
∂t[u]-Δ[u]=[f]      in D'(]0,∞[×Rn)
mit Anfangswert
u(t0,·)=u0     im L1-Sinne
gegeben. Dies ist die Lösung des CAUCHY-Problems für die Wärmeleitungsgleichung.

Proof.  u  lässt sich additiv aufspalten in einen homogenen Anteil
uhom(t,x):=
 
 
∫
Rn
 Ft,x(t0,y)u0(y) dy
und einen inhomogenen Anteil
uinh(t,x):=
t
 
∫
t0
 
 
∫
Rn
 Ft,x(s,y)f(s,y) dy ds .
Mit
fR(s,y):=
f(s,y)
     für s≧t0 und |y|≦R ,
0
     für s<t0 oder |y|> R ,
erfüllt  uR:= F∗ fR  nach Folgerung sect:6-2 die Differentialgleichung
∂t[uR]-Δ[uR] = [fR]      in D'(R×Rn) ,
also
∂t[uR]-Δ[uR] = [fR]      in D'(]t0,∞[×BR(0)) ,
und für  t>t0  ist
uR(t,x)=
t
 
∫
t0
 
 
∫
BR(0)
 Ft,x(s,y)f(s,y) dy ds ,
so dass also  uR → uinh  in  L1(]t0,∞[×Rn[  für  R → ∞ .

Daraus folgt unmittelbar, dass

∂t[uinh]-Δ[uinh] = [f]      in D'(]t0,∞[×BR(0)) .
Außerdem ist wegen der Eigenschaft von  ψ  in sect:6-1
|uinh(t,x)|
≦
C
t
 
∫
t0
 
 
∫
Rn
 Ft,x(s,y) dy ds = C
t
 
∫
t0
 ds
=
C(t-t0) → 0      für t → t0 .

Nun betrachten wir den homogenen Teil. Für  δ>0  sei

fδ(s,y):=
1
δ
 u0(y)
     für t0-δ<s<t0 ,
0
     sonst,
sowie  uδ:=F∗ fδ , so dass wieder nach sect:6-2
∂t[uδ]-Δ[uδ] = [fδ] in D'(R×Rn) .
(Zunächst müssten wir eigentlich  u0  noch zu  u0R  im Raum abschneiden, und dann wie oben den Limes  R → ∞  betrachten.) Insbesondere folgt
∂t[uδ]-Δ[uδ] = 0      in D'(]t0,∞[×Rn)
und für  t>t0  gilt
uδ(t,x)
=
1
δ
 
 
∫
Rn
t0
 
∫
t0-δ
 
 Ft,x(s,y)u0(s,y) ds dy
→ 
uhom(t,x)      für δ → 0 .
Ebenso sieht man, dass  uδ → uhom  in  L1loc(]t0,∞[×Rn) , so dass wie oben folgt
∂t[uhom]-Δ[uhom] = 0      in D'(]t0,∞[×Rn) .
Da, mit  ψ  wie in sect:6-1,
uhom(t,x) = (ψ sqrt(t-t0)∗ u0)(x) ,
folgt, dass  uhom(t,·) → u0  in  L1(Rn)  für  t↘t0 .

Fassen wir zusammen, so erhalten wir:

CAUCHY-Problem    [sect:6-5]
Sei  u0∈L1(Rn)  und für  t>0 ,  x∈Rn 
u(t,x) :=
 
 
∫
Rn
 F(t,x)(0,y) u0(y) dy ,
so gilt:  u  ist auf  ]0,∞[×Rn  reell analytisch mit
∂t u - Δu = 0      in ]0,∞[×Rn ,
u(t,·) → u0 in L1(Rn)      für t → 0 .

Bemerkung
Falls  u0  zusätzlich stetig ist, so konvergiert  u(t,·) → u0  lokal gleichmäßig für  t → 0 .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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