Harmonic functions Harmonic functions
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Wave equation Wave equation
Wave equation Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Heat equation
[chap:6]


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Definition (Heat operator)    [sect:6-0]
The differential operator  L  in this chapter is the heat operator
L(u):=∂tu-Δu ,      for u∈C2(R×Rn) .
Thus  m=2 ,  n  arbitrary, and  M=N=1  in sect:1-1. In this chapter  L  always is this operator. The transposed operator is
LT(v)=-∂tv-Δv .

First let as consider the corresponding fundamental solution:

Fundamental solution    [sect:6-1]
By
F(t,x):=
1
 
(4πt)n/2
 exp ( -
|x|2
4t
 
 )
    for t>0
0
    elsewhere
a fundamental solution  F∈L1loc(R×Rn)  of  L  is defined.  F  is a real-analytic function in  ]0,∞[×Rn  and  ∞ -many differenciable in  (R×Rn)∖{0} . Moreover,  F  has the representation
F(t,x)=ψ sqrt(t)(x)
with
ψ(x)
:=
1
 
(4π)n/2
 e-|x|2/4 ,
ψε(x)
:=
1
 
εn
 ψ (
x
ε
 ) ,
where  (ψε)ε>0  is a DIRAC sequence.

In this situation again (as in chapter chap:3 and chap:5) theorem sect:2-5 can be applied. For  f∈L1(R×Rn)  with compact support we have

(F∗ f)(t,x)
=
 
∫
R
 
 
∫
Rn
 F(t-s,x-y) f(s,y) dy ds
=
t
∫
-∞
 
 
∫
Rn
 F(t-s,x-y) f(s,y) dy ds ,
since  F(t-s,·)=0  für  s>t . This gives:

Conclusion    [sect:6-2]
Let  f∈L1(R×Rn)  with compact support. Then
u(t,x) :=
t
∫
-∞
 
 
∫
Rn
 F(t-s,x-y) f(s,y) dy ds
defines a solution  u∈L1loc(R×Rn)  of the differential equation
∂t[u]-Δ[u] = [f]      in D'(R×Rn) .
Reminder: Here  [u]  and  [f]  denote the distributions corresponding to the functions  u  and  f , see sect:1-9.

The aim now is to derive (in analogy to chapter chap:3 and chap:5) an integral representation for solutions of the inhomogeneous heat equation:

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Mit Hilfe dieser Integraldarstellung sind wir wieder in der Lage, die Regularität schwacher Lösungen  u  von  L(u)=0  zu beweisen. Die optimale Regularität, die man erwarten kann, ist die Regularität der Fundamentallösungen außerhalb ihrer Singularität im Ursprung. In den Kapiteln chap:3 und chap:5 war dies die Analytizität. Da hier  F  nur unendlich oft differenzierbar ist, erhalten wir nun:

Folgerung (Regularitätssatz)    [sect:6-4]
Sei  D⊂R×Rn  offen und  u∈L1loc(D)  mit
∂t[u]-Δ[u] = 0      in D'(D).
Dann stimmt  u  fast überall mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion überein.
Die Integraldarstellung in sect:6-3 für  u  ergibt auch eine Darstellung für den Fall  Ω= Rn :

Wir beweisen nun das Maximumprinzip für die Wärmeleitungsgleichung. Im Gegensatz zu Kapitel chap:3 und Kapitel chap:5 werden wir zunächst ein Vergleichsprinzip beweisen. Dort war das Vergleichsprinzip eine Folgerung des Maximumprinzips.

Vergleichsprinzip    [sect:6-6]
Betrachte für  Ω⊂Rn  offen und beschränkt den Zeit-Raum-Zylinder
Q:=]t0,t1[×Ω.
Seien  u1, u2∈C0(clos(Ω))∩C(1,2)(]t0,t1[;Ω)  und in  Q  gelte
∂t u1 - Δu1 ≦0,     ∂t u2 - Δu2 ≧0 .
Dann gilt:
Aus u1≦u2 auf ∂parQ folgt u1≦u2 in clos(Q).
Definition: Dabei ist der parabolische Rand  ∂parQ  definiert als
∂parQ := {(t,x)∈∂Q ;   t<t1 oder x∈∂Ω} .
Bezeichnung:  u1  heißt Unterlösung und  u2  heißt Oberlösung.
Folgerung
Lösungen von  ∂t u - Δu = f  mit vorgegebenen Werten  u0  auf  ∂parQ  sind eindeutig unter der Regularitätseinschränkung  f∈C0(Q) ,  u0∈C0(∂parQ) ,  u∈C0(clos(Ω))∩C(1,2)(]t0,t1[;Ω) .

Wesentlich ist der folgende Satz, der die Tatsache ausdrückt, dass Lösungen der Wärmeleitungsgleichung eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit haben: Ist ein stetiger Anfangswert  u0  nichtnegativ und positiv in einem Punkte, so ist die Lösung zu jedem positiven Zeitpunkt überall positiv.

Satz    [sect:6-7]
Sei  Q  wie in sect:6-6,  Ω  jedoch zusammenhängend,  u∈C0(clos(Ω))∩C(1,2)(]t0,t1[;Ω)  mit
∂t u - Δu ≧0 in Q,     u ≧0 auf ∂parQ .
Falls  u(t0,x0) > 0  für ein  x0∈Ω , dann ist  u>0  in  clos(Q) ∖∂par Q .
Diese Vorbereitungen ermöglichen uns nun den Beweis des Maximumprinzips.

Maximumprinzip    [sect:6-8]
Sei  Q=]t0,t1[×Ω  wie in sect:6-6,  Ω  jedoch offen, beschränkt und zusammenhängend und  u∈C0([t0,t1]×clos(Ω))∩C(1,2)(]t0,t1[;Ω)  mit
∂t u - Δu ≦0      in ]t0,t1[×Ω.
Hat  u  ein globales (bzw. lokales) Maximum in einem Punkte  (t*,x*)∈]t0,t1]×Ω , so ist  u  konstant auf  [t0,t*]×clos(Ω)  (bzw. konstant in einem Zylinder  [t*-δ,t*]×Bε(x*) ).
Proof. Es existiert ein zusammenhängender Teilzylinder  Q':=]t0',t1'[×Ω' ⊂Q , so dass  (t*,x*)∈]t0',t1']×Ω'  und
u(t*,x*) ≧u(t,x)      für (t,x)∈clos(Q') .
Wir wollen Gleichheit zeigen. Angenommen, es existiere ein  (t',x')∈Q'  und  u(t',x') < u(t*,x*) . Dann folgt mit sect:6-7, angewandt auf den Zylinder  ]t',t1'[×Ω'  und die Funktion  u(t*,x*)-u , dass  u(t*,x*)-u(t,x)>0  für  (t,x)∈]t',t1']×Ω' . Falls  t'<t*  ergibt sich ein Widerspruch, da dann  (t,x)=(t*,x*)  gesetzt werden kann.

Also haben wir gezeigt, dass  u=u(t*,x*)  auf  [t0',t*[×Ω'  und damit wegen der Steigkeit von  u  auch auf  [t0',t*]×clos(Ω') .

Im Fall eines lokales Maximums ist damit die Behauptung bewiesen. Im Fall eines globales Maximums folgt die Behauptung, da  Q'=Q  gewählt werden kann.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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