Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Anwendungen des Maximumprinzips

Beweis

Harmonic functions

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Anwendungen des Maximumprinzips

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Bemerkung

Wir haben gezeigt, dass für Ω⊂R offen und beschränkt, u∈C⁰(clos(Ω)) subharmonisch und u₀∈R aus u≦u₀ auf ∂Ω folgt:

u≦u₀ in Ω.

Wir können daraus Folgendes sofort einsehen: Sei Ω wie gerade, u₁, u₂∈C⁰(clos(Ω)) mit u₁ subharmonisch und u₂ superharmonisch. Gilt dann u₁≦u₂ auf ∂Ω , so ist u₁≦u₂ auf ganz Ω . Zum Beweis reicht es, das Maximumprinzip auf die subharmonische Funktion u₁-u₂ anzuwenden.

Eine weitere Folgerung ist:

Eindeutigkeit des DIRICHLET-Problems

Sei u₀ : ∂Ω → R stetig. dann gibt es höchstens ein u∈C⁰(clos(Ω)) mit:

u harmonisch in Ω und u=u₀ auf ∂Ω.

Proof. Annahme: Seien u₁, u₂ zwei solche Funktionen. Wende nun die Überlegungen von oben auf u₁ und u₂ sowie auf -u₁ und -u₂ an und erhalte:

u₁

≦

u₂ auf Ω

-u₁

≦

-u₂ auf Ω,

also ist u₁=u₂ auf Ω .

Wir geben nun exemplarisch einige

Anwendungen des Maximumprinzips [sect:5-18]

[sect:5-18-(1)] Eindeutigkeit der GREEN-Funktion: Sei Ω⊂Rⁿ offen und beschränkt. Dann existiert höchstens eine GREEN'sche Funktion auf Ω bezüglich -Δ und des DIRICHLET-Randoperators mit der Eigenschaft

G_x₀ ∈L¹(Ω) ∩C⁰(clos(Ω)∖{x₀ }) für x₀ ∈Ω.

Es ist

G_x(y)>0 für x,y ∈Ω mit x ≠y .

[sect:5-18-(2)] Maximumprinzip für allgemeinere Gleichungen: Sei u∈C²(Ω)∩C⁰(clos(Ω)) , Ω⊂Rⁿ offen und beschränkt, Lösung von

-Δu +

n
∑
i=1
b_i∂_i u+cu=0 ,

mit b_i, c∈C⁰(clos(Ω)) und c>0 in Ω . Wir behaupten:

u≦0 auf ∂Ω
=>
u≦0 in Ω,

u=0 auf ∂Ω
=>
u=0 in Ω.

[sect:5-18-(3)] Laminare ideale Strömung in unendlichem Streifen: Sei n=2 , Ω={x∈R²;x₁>0,|x₂|<1} , u₀∈R und u∈C²(Ω)∩C⁰(clos(Ω)) mit:

Δu = 0 in Ω.

Es strebe u(x) gegen u₀ für x∈∂Ω , x₁ → ∞ . Weiter sei u beschränkt. Dann folgt:

u(x) → u₀ für x∈Ω, x₁ → ∞.

Anmerkung: Entsprechende Aussagen kann man auch auf unendlichen Zylindern im R³ beweisen.

Proof sect:5-18-(1). Sei x₀∈Ω und G_x₀∈L¹(Ω)∩C⁰(clos(Ω)∖{x₀}) eine GREEN-Funktion, d.h.

-Δ[G_x₀]

δ_x₀ in D'(Ω)

G_x₀

0 auf ∂Ω.

Sei G̃_x₀ ebenso, also ist

-Δ[G_x₀-G̃_x₀]

0 in D'(Ω)

G_x₀-G̃_x₀

0 auf ∂Ω.

Folglich ist G_x₀-G̃_x₀ harmonisch. Mit dem Maximumprinzip folgt G_x₀-G̃_x₀=0 auf ganz Ω .

Zum Beweis von

G_x₀(y)>0 für y∈Ω∖{x₀}

betrachten wir die Funktion

-H_x₀:=G_x₀-F_x₀ ,

wobei F_x₀(y)=F(y-x₀) und F die Fundamentallösung von -Δ ist. Da somit also

-Δ[F_x₀]=δ_x₀ ,

folgt

-Δ[H_x₀]=0 ,

d.h. H_x₀ ist harmonisch, also in Ω eine reell analytische Funktion, und somit H_x₀∈C⁰(clos(Ω)) .

Nun ist H_x₀=F_x₀ auf ∂Ω und H_x₀ harmonisch und F_x₀ superharmonisch (wegen δ_x₀≧0 ). Es folgt aus obiger Bemerkung, dass

H_x₀≦F_x₀ .

Damit haben wir folgende Aussagen:

G_x₀≧0 in clos(Ω) .
G_x₀= 0 auf ∂Ω .
G_x₀ superharmonisch (wegen δ_x₀≧0 ).
G_x₀ nicht konstant (wegen -Δ[G_x₀]≠0 ).

Mit dem Maximumprinzip schließen wir: G_x₀ kann in keiner Zusammenhangskomponente das globale Minimum 0 haben und annehmen, d.h. G_x₀ > 0 in Ω .

Proof sect:5-18-(2). Die zweite Behauptung folgt direkt aus der ersten bei Anwendung auf u und -u .

Sei u≦0 auf ∂Ω . Wir nehmen an, es sei

s:=

sup

x∈clos(Ω)

u(x)>0 .

Da u stetig auf clos(Ω) und u≦0 auf ∂Ω , gibt es ein x₀∈Ω mit u(x₀)=s . Dann folgt aus der Differentialgleichung im Punkt x₀ :

0=-Δu(x₀)+

∑

i=1

b_i(x₀)∂_iu(x₀)+c(x₀)u(x₀).

Da x₀ ein Maximum ist, folgt ∂_i u(x₀)=0 . Da c(x₀)>0 und u(x₀)=s>0 folgt dann Δu(x₀)< 0 . Da u∈C²(Ω) , existiert eine abgeschlossene Kugel clos(B_ε(x₀))⊂Ω mit

-Δu<0 in B_ε(x₀), u subharmonisch inB_ε(x₀) ,

und u nimmt in x₀ sein Supremum an. Mit dem Maximumprinzip folgt

u=u(x₀) konstant in B_ε(x₀) ,

im Widerspruch zu -Δu(x₀)<0 .

Proof sect:5-18-(3). Wir beweisen auch diese Behauptung mit dem Maximumpinzip sect:5-16, müssen dabei aber beachten, dass dieses nur für beschränkte Gebiete gilt. Also betrachten wir für b>0 die beschränkten Gebiete

Ω_b:={x∈Ω;0<x₁<b} .

Für λ∈R definieren wir harmonische Hilfsfunktionen

w_λ(x₁,x₂) := e^λx₁ cos(λx₂) = Re

(

e^{λ(x₁+i x₂)}

)

Hinweis: An der Funktion ũ:=u₀+w_π/2 sieht man, dass für die zu beweisende Aussage eine Wachtumsbedingung (in der Behauptung die Beschränktheitsbedingung) nötig ist. Denn es ist zwar ũ(x)=u₀ für x∈∂Ω mit x₁>0 , aber ũ(x) strebt nicht gegen u₀ für x∈Ω mit x₁ → ∞ .

Sei nun M>0 mit

u≦u₀+M in clos(Ω) .

Weiter können wir nach Voraussaetzung zu ε>0 ein a_ε>0 so wählen, dass

u(x)≦u₀+ε für x∈∂Ω mit x₁≧a_ε.

Wir definieren eine Vergleichsfunktion durch

v:=u₀+ε+

c_εw_-λ

>0 in Ω

mit 0<λ<

, c_ε>0 .

Wähle c_ε so groß, dass für x∈Ω mit x₁≦a_ε

c_εw_-λ(x) ≧c_εe^-λa_ε cos(λ)≧M .

Dann folgt

[eq:518-*]

u≦v auf ∂Ω.

Sei δ>0 . Wir behaupten: Für großes b>a_ε gilt

[eq:518-**]

u≦v +δw_λ auf ∂Ω_b .

Nach eq:518-* gilt diese Ungleichung auf ∂Ω , und falls b groß genug gewählt wird (abhängig von M , λ , δ ), gilt

u₀+M ≦u₀+δe^λb cos(λ) ,

und damit für x∈∂Ω_b mit x₁=b

u(x)≦u₀+M ≦u₀+δe^λb cos(λ) ≦u₀+δw_λ(x) ≦v(x)+δw_λ(x) .

Damit ist eq:518-** bewiesen. Da v+δw_λ eine harmonische Funktion ist, folgt nach dem Maximumprinzip sect:5-16, dass

u≦v+δw_λ auf Ω_b

für alle b , die groß genug sind. Also ist

u≦v+δw_λ auf Ω.

Wir lassen nun δ gegen Null gehen und erhalten

u≦v auf Ω.

Nach Definition von v folgt daraus

lim sup

x₁ → ∞

u(x)≦u₀+ε.

Dies gilt für alle ε>0 . Lassen wir nun ε gegen Null gehen, so folgt

lim sup

x₁ → ∞

u(x)≦u₀ .

Führt man die gleiche Überlegung für -u durch, folgt die Behauptung.

Zum Schluss dieses Kapitels noch eine

Anwendung des LIOUVILLE'schen Satzes [sect:5-19]

Wir betrachten das Gravitationspotential, was schon in Analysis III (siehe [Analysis III:NEWTON-Potential] und [Analysis III:Eigenschaften des NEWTON-Potentials] ) betrachtet wurde: Es sei n=3 und

Φ(x):=-

∫

R³

ϱ(y)

|x-y|

dy ,

wobei ϱ eine messbare und beschränkte Funktion mit kompaktem Träger sei. Nach sect:5-2 gilt:

Δ[Φ]=4π[ϱ] in D'(R³) .

Betrachte den speziellen Fall ϱ=ϱ₀ Χ_{B_R(0)} mir einer Konstanten ϱ₀∈R . Wir behaupten, dass dann gilt:

Φ(x):=-4πϱ₀·

R²

|x|²

für |x|<R ,

R³

3|x|

für |x|>R .

Erinnerung: Dieses Resultat war in [Analysis III:Eigenschaften des NEWTON-Potentials] ) schon angekündigt worden.

Proof. Sei

u(x):=

R²

|x|²

für |x|≦R ,

R³

3|x|

für |x|≧R .

Dann ist

Δu(x)=

-1

für |x|<R ,

für |x|>R .

Außerdem sieht man leicht, dass u∈C¹(R³) . Mit der nachfolgenden Proposition sect:5-20 folgt daher, dass

Δ[u] = -[ Χ_{B_R(0)} ] in D'(R³).

Definieren wir dann

Φ̃:=-4πϱ₀ u

so ist Δ[Φ̃]=4π[ϱ] in D'(R³) und damit

Δ[Φ-Φ̃]=0 .

Also ist Φ-Φ̃ eine harmonische Funktion auf R³ und nach dem Satz von LIOUVILLE folgt wegen des asymptotischen Verhaltens im Unendlichen, dass Φ=Φ̃ .

Im letzten Beweis hatten wir einen Spezialfall der folgenden Aussage benutzt.

Proposition [sect:5-20]

Sei Ω= Ω₁∪Γ∪Ω₂ mit zwei disjunkten offenen Mengen Ω₁ und Ω₂ , wobei Γ eine C¹ -Trennfläche zwischen Ω₁ und Ω₂ sei. Weiter seien u_l∈C¹(clos(Ω_l)) , f_l∈C⁰(clos(Ω)_l) für l=1,2 , sowie

u:=

u₁

in Ω₁ ,

u₂

in Ω₂ ,

f:=

f₁

in Ω₁ ,

f₂

in Ω₂ .

Dann sind äquivalent:

[sect:5-20-(1)] -Δ[u]=[f] in D'(Ω) .

[sect:5-20-(2)] -Δu_l=f_l in Ω_l für l=1,2 und u∈C¹(Ω) .

Proof sect:5-20-(1) ==> sect:5-20-(2). Sei ζ∈C₀^∞(Ω) . Dann ist

∫

(Δζu - ζf) dLⁿ

∑

∫

Ω_l

(Δζu_l-ζf_l) dLⁿ

∑

∫

∂Ω_l

(u_l ∇ζ•ν_l-ζ∇u_l•ν_l) dH^n-1 +

∑

∫

Ω_l

ζ(Δu_l-f_l) dLⁿ ,

letzteres durch zweimalige partielle Integration:

Δζu_l= div (u_l∇ζ) - div (ζ∇u_l)+ζΔu_l .

Betrachte zunächst beliebige ζ∈C₀^∞(Ω_l) . Nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung folgt Δu_l -f_l = 0 in Ω_l , also bleibt nur das Randintegral übrig, d.h.

[eq:519]

∫

∇ζ•(

∑

u_l ν_l) dH^n-1 -

∫

ζ(

∑

∇u_l ν_l) dH^n-1 .

Nun kann Γ lokal in einer Umgebung U als Nullstellenmenge einer Funktion ψ∈C¹(U;R) dargestellt werden:

Γ∩U = {x∈U; ψ(x)=0}, ∇ψ≠0 auf Γ∩U .

Für η∈C₀^∞(U) setze ζ=ηψ , also gilt auf Γ

ζ= 0 , ∇ζ= ψ∇η+η∇ψ= η∇ψ.

Es folgt (durch eine Approximationsargumentation folgt, dass eq:519 auch für alle ζ∈C₀¹(Ω) gilt)

∫

η∇ψ•

∑

u_lν_l dH^n-1 für alle η∈C₀^∞(U) ,

also nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung

0=∇ψ•

∑

u_lν_l auf Γ∩U .

Da ∇ψ(x)≠0 Normalenvektor an x∈Γ ist und es nur eine Normalengerade gibt, muss ∇ψ(x) ein Vielfaches von ν₁(x) bzw. ν₂(x) sein. Es folgt

0 = ν₁•

(

∑

u_lν_l

)

=u₁-u₂ .

Damit ist gezeigt, dass u∈C⁰(Ω) , und eq:519 reduziert sich zu

∫

∑

∇u_l•ν_l dH^n-1 für alle ζ∈ C₀^∞(Ω) ,

also nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung

∑

∇u_l•ν_l = ν₁•(∇u₁-∇u₂) auf Γ.

Da aus der Stetigkeit von u folgt, dass u₁ = u₂ auf Γ , ist auch ∂_τu₁=∂_τu₂ auf Γ für alle Tangentialfelder τ . Also folgt

∇u₁ = ∇u₂ auf Γ,

und damit u∈C¹(Ω) .

Proof sect:5-20-(2) ==> sect:5-20-(1). Mit derselben Rechnung wie am Anfang obigen Beweises ist die Umkehrung sofort klar.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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