Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Folgerungen

Beweis

Harmonic functions

Beweis

Index

Folgerungen

This is an english version of the script

You may switch to the original german version:

Folgerung

Jede harmonische Funktion lässt sich lokal gleichmäßig durch harmonische Polynome approximieren.

Proof. Betrachte die Potenzreihe

u(x) =

∑

a_α(x-x₀)^α

in einer Umgebung von x₀ . Wir zeigen, dass

h_k(x):=

∑

|α|=k

a_α(x-x₀)^α

harmonisch sind. Dann sind

u_m:=

∑

0≦k≦m

h_k

harmonisch und konvergieren in einer Umgebung von x₀ gleichmäßig gegen u . Man kann die Harmonizität der h_k beweisen, indem man in der Reihe für u durchdifferenziert, die Reihe für 0=Δu hinschreibt und einen Koeffizientenvergleich macht. Hier ist ein anderer Beweis:

Sind h_k , 0≦k< m , schon harmonisch, so auch

x |→ R^m(u-u_m)(x₀+

)

R^m

∑

|α|≧m

a_α

R^|α|

x^α

h_m(x)+

∑

|α|>m

a_α

R^|α|-m

x^α .

∑

|α|>m

a_α

R^|α|-m

x^α

≦

∑

|α|>m

|a_αx^α| → 0

für R → ∞ und gleichmäßig für kleine |x| , ist auch h_m harmonisch.

Folgerung (Eindeutigkeit der Fundamentallösung) [sect:5-14]

Sei F die Fundamentallösung zu -Δ aus sect:5-1. Für jede andere Fundamentallösung F̃ ∈L_loc¹(Rⁿ) gilt:

F̃ = F-H ,

wobei H : Rⁿ → R harmonisch, also reell analytisch ist.

Bemerkung: Also ist das singuläre Verhalten von F eindeutig bestimmt.

Für n ≧3 gilt weiter: F ist die einzige Fundamentallösung, die im Unendlichen verschwindet.

Proof. Zunächst ist H:=F-F̃ wegen

-Δ[F-F̃]=-Δ[F]+Δ[F̃]=δ₀-δ₀ = 0

harmonisch.

Nun sei n≧3 und F̃ so, dass F̃(x) → 0 für |x| → ∞ . Damit gilt ebenfalls: H(x) → 0 für |x| → ∞ , da auch F(x) → 0 für |x| → ∞ . Also ist H harmonisch und verschwindet im Unendlichen.

Daraus folgt mit dem Satz von LIOUVILLE (Satz sect:5-15), dass H = const. auf Rⁿ . Da H aber im Unendlichen verschwindet, gilt H = 0 und damit F̃ = F .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

Beweis

Harmonic functions

Beweis

Index