Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Power series for n=2

Gravitation potential

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Power series for n=2

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Reihendarstellung für n=2 [sect:5-3]

Sei z₀ ∈B_R(z₀) ⊂R² und u ∈L¹_loc(B_R(z₀)) harmonisch. Dann gibt es Zahlen a_k ∈C , so dass für fast alle x ∈B_R(z₀) gilt:

u(z) =

∞

∑

k=0

a_k (z-z₀)^k + conj(a_k) conj((z-z₀))^k

mit lim sup _{k → ∞} (|a_k|)^¹/_k ≦¹/_R .

Ist a_k = α_k + i β_k und z = z₀ + r e^i θ , so gilt also:

u(z₀ + r e^i θ) =

∞

∑

k=0

r^k ( α_k cos(k θ) - β_k sin(kθ) ) .

Proof. Sei u ∈C² (B_R(z₀)) (wir werden in sect:5-13 zeigen, dass harmonische L_loc¹ -Funktionen fast überall mit einer glatten Funktion übereinstimmen) und

f := i ∇u =

- ∂₂ u

∂₁ u

Dann gilt: -∂₁ f₂ + ∂₂ f₁ =-( ∂₁² u + ∂₂² u) = - Δu = 0 . Aus Satz sect:1-4 folgt, dass es ein v ∈C²(B_R(z₀)) gibt, mit ∂₁ v = f₁ = -∂₂ u und ∂₂ v = f₂ = ∂₁ u . Also erfüllt u+i v die CAUCHY-RIEMANN'schen Differentialgleichungen und ist damit holomorph.

Satz sect:3-4 sagt uns dann, dass (u+i v)(z) = ∑ _k=0^∞a_k (z-z₀)^k mit Konvergenzradius ≧R . Damit ist u = Re (u+i v) und die behauptete Darstellung folgt mit a_k = α_k + i β_k und z = z₀ + r e^i θ , denn

Re (a_k(z-z₀)^k) = Re (r^k(α_k + i β_k)e^{i k θ}) = r^k (α_k cos(k θ) - β_k sin(k θ)) .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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