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Heat equation Heat equation
Heat equation Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Harmonic functions
[chap:5]


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The relevant differential operator for the class of harmonic functions is the LAPLACE operator:

Definition (LAPLACE operator)    [sect:5-0]
The relevant differential operator  L  in this chapter is the negative LAPLACE operator
L(u)=-Δu
for twice differenciable functions  u . Thus  m=2 ,  n  arbitrary, and  M=N=1  in sect:1-1. In this chapter  L  always is this operator. The transposed operator is given by
LT(v)=-Δv     also LT=L.

Definition    [sect:5-def]
Let  Ω⊂Rn  be an open set. Then a locally integrable function  u∈L1loc(Ω)  is called
  • harmonic, if  -Δ[u]=0 .
  • subharmonic, if  -Δ[u]≦0 .
  • superharmonic, if  -Δ[u]≧0 .
Notation: Subharmonic functions also are called subsolutions with respect to  L  and superharmonic functions also are called supersolutions with respect to  L .
The above distributional inequalities are defined as follows:

Definition
For a distribution  T∈D'(Ω)  we write  T≧0 , if and only if  T(ζ)≧0  for all test functions  ζ∈C0∞(Ω)  with  ζ≧0 .

Analogously, we write  T≦0 , if  -T≧0 , that is  T(ζ)≦0  for all test functions  ζ∈C0∞(Ω)  with  ζ≧0 .

First let us introduce a fundamental solution of the (negative) LAPLACE operator:

Fundamental solution    [sect:5-1]
F(x) =
1
 
(n-2)ϭn
 |x|2-n
     for n ≧3
-
1
2 π
 log|x|
     for n = 2
-
1
2
 |x|
     for n=1
defines a fundamental solution  F ∈L1loc(Rn)  of the differential operator  - Δ . Here  ϭn  is the surface area of the sphere  Sn-1:=∂B1(0)⊂Rn , see also [Analysis III:Sphere] , whre  ϭ1=2 ,  ϭ2=2π , and  ϭn=nκn . Here  κn  is the volume of the unit ball  B1(0)⊂Rn  (see [Analysis III:Unit ball] ).
Using theorem sect:2-5 we conclude:

Conclusion    [sect:5-2]
Let  f ∈L1loc(Rn)  with compact support. Then
u(x)
:=
 
 
∫
Rn
 F(x-y) f(y) dy
=
1
 
(n-2)ϭn
 
 
∫
Rn
f(y)
 
|x-y|n-2
 dy
     for n ≧3
-
1
2 π
 
 
∫
R2
 log
1
|x-y|
 ·f(y) dy
     for n = 2
-
1
2
 
∫
R
 |x-y| f(y) dy
     for n = 1
defines a locally integrable function in  L1loc(Rn)  solving the differential equation
-Δ[u] = [f]      in D'(Rn) .
Reminder: Here  [u]  and  [f]  denote the distributions corresponding to the functions  u  and  f , see sect:1-9.

An important example is the

The goal of the following considerations is to prove, that harmonic functions are real analytic functions. As motivation let us consider the twodimensional case: Using the fundamental solution now we derive an integral representation of smooth solutions  u  of the inhomogeneous differential equation  -Δu=f . The freedom in the kernel of the integral representation (see eq:5-kern) can be used to realize different boundary conditions. For this we define:

Boundary operator    [sect:5-4]
Let  Ω⊂Rn  be a GAUSS domain (see sect:3-gauss, hence not necessarily a bounded set). Consider the operator
B(u) := b0 u + b1 νΩ •∇u : ∂regΩ → R
fo  u ∈C1(clos(Ω)) , where
(b0,b1)  : ∂regΩ → R2∖{0}
is  Hn-1 -measurable, and  ∂reg Ω  denotes the  C1 -boundary of the GAUSS domain  Ω . There are two cases of special interest:
  • DIRICHLET boundary operator.   b0 = 1 ,  b1 = 0 , i. e.  B(u) = u .
  • NEUMANN boundary operator.   b0 = 0 ,  b1 = 1 , i. e.  B(u) = ∂νΩ u = νΩ •∇u .

Now we show, that that the uncertainty in the integral representation can be resolved by describing a boundary condition as in sect:5-4. This means, that for a given boundary operator there exists a special integral representation, for which only the values of this boundary operator occurs. This leads to a unique GREEN function in the volume integral and a unique POISSON function in the boundary integral of eq:5-integral.

GREEN function and POISSON function    [sect:5-5]
Consider a pair  (L,B)  of operators with differential operator  L=-Δ  in  Ω  and boundary operator  B  on  ∂Ω  as in sect:5-4. A function
G  : Ω×clos(Ω) → R,     (x,y)  |→ Gx(y) := G(x,y) ∈R
is called GREEN's function on  Ω  with respest to  (L,B) , if for all  x∈Ω 
L[Gx]
=
δx      in D'(Ω) ,
B(Gx)
=
0      on ∂Ω.
Then
Gx=F(x-·)-Hx
with  L[Hx]=0  in  D'(Ω) . Here it is assumed, that  Hx∈C1(clos(Ω)) .

We claim: For each GREEN function  G  with respest to  (L,B)  there exists a unique function

P  : Ω×∂regΩ → R,     (x,y)  |→ Px(y) := P(x,y) ∈R
with
(Gx , νΩ•∇Gx) = Px·(b1,-b0) .
This function is called POISSON function with respect to  (L,B) .

(Inhomogeneous) POISSON integral    [sect:5-6]
Let  Ω  be a bounded GAUSS-Gebiet and  B  a boundary operator as in sect:5-4. Assume that there exists a GREEN function  G  on  Ω  with respect to  (-Δ,B) . Denote by  P  the corresponding POISSON function insect:5-5. Then for  u∈C1(clos(Ω))∩C2(Ω)  with  Δu∈L1(Ω) 
u(x) =
 
∫
Ω
 Gx(-Δu) dLn +
 
∫
∂Ω
 Px·B(u) dHn-1      for all x∈Ω.
Special case: POISSON integral.  If  u  is a harmonic function in  Ω , then the integral over  Ω  vanishes and wwe obtain the formula
u(x)=
 
∫
∂Ω
 Px·B(u) dHn-1 .
In some special cases there are explicit formulas for GREEN's function. They have a large range of applications.
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Damit ergibt sich folgende Integraldarstellung für harmonische Funktionen:

Folgerung
Für  u∈C2(clos(BR(x0))) ,  u  harmonisch,  x∈BR(x0)  gilt
u(x)=
1
 
ϭn
 
 
∫
∂BR(x0)
R2-|x-x0|2
 
R|x-y|n
 
 u(y) dHn-1(y) .
Dies ist das POISSON-Integral für die Kugel.

Aus dieser POISSON-Darstellung leiten wir nun die Charakterisierung harmonischer Funktionen durch die Mittelwert-Eigenschaft her.

Satz    [sect:5-8]
Sei  Ω⊂Rn  offen,  u∈L1loc(Ω) . Dann sind äquivalent:
  • [sect:5-8-(1)] Harmonizität.   u  ist harmonisch.
  • [sect:5-8-(2)] POISSON-Darstellung.  Ist  BR0(x0)⊂Ω , so gilt für fast alle  x  und fast alle  R  mit  |x-x0|<R<R0 :
    [eq:58-2]
    u(x) =
    1
     
    ϭn
     
     
    ∫
    ∂BR(x0)
    R2-|x-x0|2
     
    R|x-y|n
     
    		 u(y) dHn-1(y)  .
  • [sect:5-8-(3)] Mittelwerteigenschaft auf Sphären.  Für fast alle  x∈Ω  und fast alle  R>0  mit  clos(BR(x))⊂Ω  gilt
    [eq:58-3]
    u(x) =
    1
     
    ϭnRn-1
     
     
    ∫
    ∂BR(x)
    		 u(y) dHn-1(y)  .
  • [sect:5-8-(4)] Mittelwerteigenschaft auf Kugeln.  Für fast alle  x∈Ω  und alle  R>0  mit  clos(BR(x))⊂Ω  gilt
    u(x) =
    1
     
    κnRn
     
     
    ∫
    BR(x)
    		 u(y) dLn(y)  .
Verallgemeinerung: Ist  u  subharmonisch (bzw. superharmonisch), so gelten die Aussagen mit "  ≦  "(bzw."  ≧  ") statt "  =  ".

Wir wollen nun die Analytizität harmonischer Funktionen beweisen. Dazu zunächst ein Exkurs in die Potenzreihen mehrerer Veränderlicher (hier für den  Rn  dargestellt, geht aber im  Cn  genauso).

Definition    [sect:5-11]
Sei  Ω⊂Rn  offen, dann heißt  u : Ω → R  reell analytisch, falls sich  u  um jeden Punkt von  Ω  in eine Potenzreihe wie in sect:5-9 entwickeln lässt.

Nach diesen Aussagen über Potenzreihen können wir nun leicht die Analytizität harmonischer Funktionen beweisen.

Satz    [sect:5-13]
Sei  Ω⊂Rn  offen,  u ∈L1loc(Ω)  harmonisch. Dann stimmt  u  fast überall in  Ω  mit einer reell analytischen Funktion überein.
Aus der Mittelwerteigenschaft lässt sich analog zu Kapitel chap:3 (siehe sect:3-20, sect:3-21) auch das Maximumprinzip und der Satz von LIOUVILLE für harmonische Funktionen herleiten.

Satz (Allgemeiner Satz von LIOUVILLE)    [sect:5-15]
Sei  u ∈C0(Rn)  harmonisch,  m ≧0  eine ganze Zahl und es gelte
 
lim sup
|x| → ∞
|u(x)|
 
|x|m
 < ∞.
Dann ist  u  ein Polynom der Ordnung  ≦m . Speziell gilt im Fall  m = 0  der klassische Satz von LIOUVILLE:
Spezialfall: Satz von LIOUVILLE.  Jede beschränkte harmonische Funktion auf dem  Rn  ist konstant.
Maximumprinzip    [sect:5-16]
Sei  Ω⊂Rn  offen und zusammenhängend,  u ∈C0(Ω)  harmonisch (bzw. subharmonisch). Hat  u  in einem Punkt in  Ω  ein lokales Maximum (bzw. globales Maximum im subharmonischen Fall), so ist  u  konstant auf  Ω .

Folgerung
Sei  Ω⊂Rn  offen und beschränkt. Ist  u ∈C0(clos(Ω))  subharmonisch und  u0 ∈R , so gilt:
u≦u0 auf ∂Ω ==> u≦u0 in Ω.
Bemerkung: Diese Folgerung ist hier nur für DIRICHLET-Randbedingungen formuliert, für andere Randbedingungen existieren ebenfalls derartige Folgerungen.
Als Konsequenz erhalten wir einen Identitätssatz.

Identitätssatz    [sect:5-17]
Sei  Ω⊂Rn  offen und zusammenhängend,  u : Ω → R  reell analytisch. Enthält dann die Nullstellenmenge von  u  einen inneren Punkt, so ist  u=0  auf  Ω .
Hinweis: Dieser Identitätssatz gilt, wie oben schon erwähnt, auch im komplexen Fall. Umgekehrt gilt der Schluss im Identitätssatz sect:3-22 auch für eindimensional reell analytische Funktionen auf Intervallen. Daher ist sect:5-17 in gewissem Sinne eine  n -dimensionale Verallgemeinerung des Satzes sect:3-22. Beachte jedoch, dass die Voraussetzungen der Aussage in sect:5-17 im Falle  n=1  stärker sind als die von sect:3-22. Dies muss so sein. Betrachte als Beispiel die reell analytische Funktion  u : R2 → R ,  u(x):=x1-x2 . Die Nullstellenmenge von  u  hat keinen inneren Punkt, aber Häufungspunkte. Dasselbe gilt für die komplex analytische Funktion  u : C2 → C ,  u(z):=z1-z2 .

Folgerung (Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit)
Sei  u : Ω → R  reell analytisch,  Ω⊂Rn  offen. Weiter sei  ũ : Ω̃ → R  reell analytisch,  Ω̃⊂Rn , so dass  Ω̃  und  Ω∩Ω̃  zusammenhängend. Ist dann  u = ũ  in einer Umgebung eines Punktes in  Ω̃∩Ω , so ist durch  ũ  eine eindeutige Fortsetzung von  u  auf  Ω∪Ω̃  gegeben.
Schließlich wollen wir einige Anwendungen des Maximumprinzips untersuchen.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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