Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Integration von Potenzen

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Integration von Potenzen

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Integration von Potenzen auf [0, ∞[ [sect:4-11]

Gesucht:

∞

∫

x^αf(x) dx, wobei α∈R.

Wir behaupten: Sei α∈R∖Z und f : C∖M∖{0} → C holomorph, M lokal endlich und

M∩]0, ∞[=∅, |z|^1+α|f(z)| → 0 für |z| → 0 und für |z| → ∞.

Dann gilt

lim

R↗∞

r↘0

∫

x^αf(x) dx =

2πi

1-e^2πiα

∑

z∈M

res _z(z^αf(z)) ,

wobei z |→ z^α auf C∖[0, ∞[ der Zweig mit (-1)^α=e^iπα sei. (Falls f auf R reell und nichtnegativ ist, so folgt, dass x |→ x^αf(x) in L¹(]0, ∞[) und die linke Seite ist ∫ ₀^∞x^αf(x) dx .)

Proof. Für 0<r<R und kleines δ>0 betrachte das Gebiet

Das Gebiet D_R,r,δ [fig:4-11-1]

D_R,r,δ:=B_R(0)∖(clos(B_r(0)) ∪{z∈C; Re (z)>0, | Im (z)|≦δ}) .

Wähle nun r, δ so klein und R so groß, dass alle nicht hebbaren Singularitäten in D_R,r,δ liegen.

(Wähle r₀, R₀ so, dass nach Voraussetzung |z|^1+α|f(z)|≦1 für z∈C∖{0} nicht in M und |z|≦r₀ bzw. |z|≧R₀ . Dann ist also f in B_r₀(0)∖{0} und C∖clos(B_R₀(0)) lokal beschränkt, kann dort also nur hebbare Singularitäten haben. Wähle dann r<r₀ und R>R₀ und dann δ klein genug.)

Dann gilt nach dem Residuensatz

∑

z∈M∩D_R,r,δ

res _z (z^αf(z))

2π

∫

∂D_R,r,δ

z^αf(z)ν_{D_R,r,δ}(z) dH¹(z)

2π

R_δ

∫

r_δ

((x+i δ)^αf(x+i δ)-(x-i δ)^αf(x-i δ)) dx

2π

∫

{z∈∂D_R,r,δ;|z|=R}

z^αf(z)

dH¹(z)

2π

∫

{z∈∂D_R,r,δ;|z|=r}

z^αf(z)

dH¹(z) .

Für den vorletzten Summanden gilt:

2π

∫

{z∈D_R,r,δ;|z|=R}

z^αf(z)

dH¹(z) | ≦

R^α

sup

|z|=R

(f(z)) → 0 für R → ∞,

und analog für den letzten.

Wir untersuchen die Terme im ersten Summanden:

(x+i δ)^α → x^α

für δ → 0

(x-i δ)^α → x^α·e^2πi α

für δ → 0 .

Damit und mit r und R fest strebt das Integral für δ → 0 gegen

2πi

· ( 1-e^2πi α ) ·

∫

x^αf(x) dx.

Für α∉Z folgt die Behauptung.

Beispiel

Es gilt

∞

∫

x^-λ

1+x

dx =

sin(λπ)

für 0<λ<1 .

Proof. Mit α:=1-λ ist x^-λ=x^α-1 , als hat

f(z):=

z(1+z)

Pole außerhalb 0 nur bei z=-1 . Also erhalten wir mit Beispiel sect:4-6-(2):

z^αf(z)=

z^α

z-(-1)

, somit res _-1 (f)=-e^i πα .

Außerdem gilt

|z|^α+1 |f(z)|=

|z|^α

|1+z|

→ 0 für |z| → 0 und |z| → ∞

wegen 0<α<1 . Nach dem oben Gezeigten folgt also

∞

∫

x^-λ

1+x

dx =

-2πi

1-e^2πi α

·e^i πα =

-2πi

e^-i πα-e^i πα

sin(απ)

sin(λπ)

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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