Holomorphic functions Holomorphic functions
Titlepage Titlepage
Harmonic functions Harmonic functions
Harmonic functions Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Isolated Singularities
[chap:4]


english There is not yet an english translation of this part
Please go to the original german version: german


Sei  L  ein linearer Differentialoperator auf einer offenen Menge  Ω⊂Rn  und sei
L(u)=f      in Ω∖{x0}
mit einem Punkt  x0∈Ω . Es stellt sich die Frage, was man über das Verhalten von  u(x)  für  x → x0  aussagen kann. Wir wollen in diesem Kapitel diese Frage für den Fall  L=∂ conj(z)  untersuchen. Sei also  D⊂C  offen,  z0∈D  und
∂ conj(z)u=0 in D∖{z0} .
Die nach  z0  verschobene Fundamentallösung von  ∂ conj(z)  ist
Fz0(z):=
1
 
π(z-z0)
 ,
und die Ableitungen der Fundamentallösung sind
∂zk Fz0(z)=
(-1)k k!
 
π(z-z0)k+1
 
 .
Offensichtlich haben sowohl die Fundamentallösung als auch ihre Ableitungen eine Singularität in  z0 . Es ergeben sich die folgenden Fragen: Als Erstes beantworten wir die zweite Frage.

Satz (Hebbare Singularitäten)    [sect:4-1]
Sei  D⊂C  offen,  z0∈D . Seien  u, f∈L1loc(D∖{z0})  und sei  u  schwache Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
∂ conj(z)u=f      in D∖{z0}.
Sind dann
f und z |→ 
u(z)
 
z-z0
 in einer Umbegung von z0 integrierbar ,
so ist  u  schwache Lösung von
∂ conj(z)u=f      in D.
Spezialfall: RIEMANN'scher Hebbarkeitssatz.  Sei  u  : D∖{z0} → C  mit  z0∈D  holomorph und in einer Umgebung von  z0  beschränkt. Dann lässt sich  u  in  z0  holomorph fortsetzen.
Im Folgenden betrachten wir nun Singularitäten holomorpher Funktionen:

Satz (LAURENT-Reihe)    [sect:4-2]
Sei  z0∈C ,  0≦r<R≦∞ , und
f  : {z∈C; r<|z-z0|< R} → C
sei holomorph. Dann gilt
f(z)=
 
∑
k∈Z
 ak(z-z0)k für r<|z-z0|<R,
wobei diese Reihe absolut konvergiert und die Koeffizienten gegeben sind durch
ak
=
1
2πϱ
 
 
∫
∂Bϱ(z0)
f(y)
 
(y-z0)k
 dH1(y)
=
1
2πi 
 
 
∫
∂Bϱ(z0)
f(z)
 
(z-z0)k+1
 dz .
für  r<ϱ<R . Die Koeffizienten hängen also nicht von  ϱ  ab. (Die Orientierung des Wegintegrals ist hier und im Folgenden gegen den Uhrzeigersinn, wenn nicht anders angegeben.) Die Reihe
fN(z):=
∞
∑
k=0
 ak(z-z0)k
heißt Nebenteil von  f  und konvergiert absolut für
|z-z0|<ϱN:= (
 
lim sup
k → ∞
 (|ak|)1/k ) -1 .
Es gilt  ϱN≧R . Die Reihe
fH(z):=
-∞
∑
k=-1
 ak(z-z0)k
heißt Hauptteil von  f  und konvergiert absolut für
|z-z0|> ϱH:=
 
lim sup
k → -∞
 (|ak|)1/k .
Es gilt  ϱH≦r .

Wir zeigen nun, dass umgekehrt gilt:

Lemma    [sect:4-3]
Sei  z0∈C ,  ak∈C  für  k∈Z , und  ϱN, ϱH∈[0, ∞]  wie in sect:4-2 definiert. Falls  ϱH<ϱN  ist, so definiert
f(z):=
 
∑
k∈Z
 ak (z-z0)k
eine holomorphe Funktion in  BϱN(z0)∖clos(BϱH(z0))  und die  ak  haben die Eigenschaft von Satz sect:4-2.
Damit haben wir das Verhalten von holomorphen Funktionen in isolierten Singularitäten geklärt. Das mögliche Verhalten in einem singulären Punkt teilen wir in drei Klassen ein:

Definition (Isolierte Singularitäten)    [sect:4-4]
Ist  f  : BR(z0)∖{z0} → C  holomorph, so besitzt  f  nach sect:4-2 eine LAURENT-Reihe
f(z)=
 
∑
k∈Z
 ak (z-z0)k     für    0<|z-z0|<R,    (ϱN≧R, ϱM=0)
Wir unterscheiden drei Fälle:
  • [sect:4-4-(1)] Hebbare Singularität.   ak=0  für  k<0 . Dann ist  f  auf  BR(z0)  holomorph fortsetzbar durch  f(z0):=a0 .
  • [sect:4-4-(2)] Pol  m -ter Ordnung.  Es gibt ein  m∈N  mit  a-m≠0  und  ak=0  für alle  k<-m .

Wie wir in sect:4-7 sehen werden, kommt dem Koeffizienten  a-1  in der LAURENT-Reihe eine besondere Bedutung zu. Wir nennen ihn das Residuum:

Definition (Residuum)    [sect:4-5]
Sei  f  wie in sect:4-4, dann heißt
res z0(f):=a-1
=
1
2πϱ
 
 
∫
∂Bϱ(z0)
 f(y) (y-z0) dH1 (y)
=
1
2πi 
 
 
∫
∂Bϱ(z0)
 f(z) dz      für 0<ϱ<R
das Residuum von f im Punkte  z0 .
Das Ziel dieses Kapitels ist der folgende Satz.

Residuensatz    [sect:4-7]
Sei  D⊂C  beschränktes GAUSS-Gebiet (siehe Definition sect:3-gauss) und die Singularitätenmenge  M⊂D  endlich. Ist dann  f  : clos(D)∖M → C  stetig und holomorph in  D∖M  so gilt:
1
2π
 
∫
∂D
 f(y)νD (y) dH1(y) =
 
∑
z∈M
 res z (f).

Bemerkung    [sect:4-8]
Sei  D⊂C  offen,  M⊂D ,  f  : D∖M → C  holomorph,  M  in  D  lokal endlich, dann gilt:
  • [sect:4-8-(1)] Ist  D'  beschränktes GAUSS-Gebiet mit  clos(D')⊂D  und  M∩∂D'=∅ , so können wir den Residuensatz auf  f  und  D'  anwenden.
  • [sect:4-8-(2)]  f  heißt meromorph in  D , falls  f  keine wesentliche Singularität hat (höchstens Pole in  M ).
  • [sect:4-8-(3)] Rationale Funktionen sind meromorph auf  C .
Eine der wichtigsten Anwendungen des Residuensatzes ist die Berechnung reeller Integrale. Wir geben hier drei Klassen solcher Integrale an.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

Holomorphic functions Holomorphic functions
Titlepage Titlepage
Harmonic functions Harmonic functions
Harmonic functions Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany