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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Bemerkung zu linearen Transformationen

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Bemerkung zu linearen Transformationen
Sei  S2:=∂B1(0)⊂R3 . Wir betrachten Diffeomorphismen  f : S2 → S2  mit der Eigenschaft: Zu  x∈S2  gibt es ein  c(x)>0 , so dass
∂τ1f(x)•∂τ2f(x)=c(x)τ1•τ2 für alle τ1,τ2∈Tx(S2).
Dann gilt: Nach einer stereographischen Projektion sind diese Abbildungen gerade die gebrochen-linearen Transformationen und deren Konjungationen.
Hinweis: Abbildungen mit obiger Eigenschaft sind winkeltreu und wegen  |∂τf(x)|= sqrt(c(x))|τ|  werden alle Tangentialvektoren in einem Punkte um den selben Faktor gestreckt.

Definition
Die  n -dimensionale Sphäre im  Rn+1  wird mit
Sn:=∂B1(0)⊂Rn+1
bezeichnet.
Proof. Die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion im  Rn  ist gegeben durch
γ : Rn-1 → Sn-1∖{en}⊂Rn ,
γ(y):=
(2y,|y|2-1)
 
|y|2+1
 
 .
Es ist  γ(y)  der Punkt auf  Sn-1 , der auf der Verbindungsgeraden des "Nordpols"  en  und dem Punkt  (0,y)  liegt. Wegen
∂yiγ(y) =
2
 
(|y|2+1)2
 ((1+|y|2)ei-2yiy,2yi)
ist
∂yiγ(y)•∂yjγ(y) =
4δij
 
(|y|2+1)2
 
 ,
das heißt,  γ  hat die gleiche Eigenschaft wie  f  in der Voraussetzung. Betrachte nun die Abbildung
g := γ-1∘f∘γ : Rn-1∪{∞} → Rn-1∪{∞} ,
wobei wir  γ(∞):=en  setzen. Ist  Df(x)  : Tx(Sn-1) → Tf(x)(Sn-1)  die Ableitung von  f  in  x  (siehe [Analysis III:Differenzierbarkeit auf Flächen] , so folgt für  y∈Rn-1 ,  x:=γ(y)  und  v1,v2∈Rn-1 
D(f∘γ)(y)(v1)•D(f∘γ)(y)(v2)
=
Df(x)(Dγ(y)(v1))•Df(x)(Dγ(y)(v2))
=
c(x)Dγ(y)(v1)•Dγ(y)(v2)
=
c(x)·c0(y)v1•v2,    c0(y):=
4
 
(|y|2+1)2
 .
Daraus folgt dann ähnlich
Dg(y)(v1)•Dg(y)(v2) =


1
 
c0(g(y))
 ·c(x)·c0(y)
=:c̃(y)>0
   v1•v2 ,
also
∂yig(y)•∂yjg(y) = c̃(y)δij .
Nun sei  n=3 . Dann ist also
∂y1g•∂y2g = 0 ,     |∂y1g|=|∂y2g|>0 ,
und nach Übungsaufgabe aufgabe:24 ist daher  g  auf  C  holomorph oder   conj(g)  holomorph. Dann hat  g  oder   conj(g)  die Eigenschaften aus Satz sect:3-19, woraus die Behauptung folgt.
Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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