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Divergence operator Divergence operator
Divergence operator Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Gradient operator

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Für  u∈C1(Ω)  sei ist der Gradientenoperator (oder Nabla-Operator)
L(u) :=∇u := (∂i u)i=1,...,n =
n
∑
i=1
 ∂i u  ei.
Dies ist ein Differentialoperator wie in sect:1-1 mit
aα
=
0
⋮
1
⋮
0
←    i-te Zeile
für  α=ei ,  i=1,...,n , und  aα=0  sonst.
Zur Differentialgleichung: Es sei  u∈C1(Ω) .
  • Falls  ∇u = f  und  u∈C2(Ω) , dann gilt   ∂jfi = ∂j∂i u , also
    [eq:12]
    ∂jfi - ∂ifj = 0      für alle i, j,
    da  ∂j∂i u = ∂i∂j u . Also ist eq:12 ist eine notwendige Bedingung an die rechte Seite der Differentialgleichung für ihre Lösbarkeit.
  • Mit Differentialformen formuliert ist  u  als Funktion eine  0 -Form. Daraus ergibt sich die  1 -Form
    du=
    n
    ∑
    i=1
    		 ∂iu dxi = ω:=
    n
    ∑
    i=1
    		 fi dxi ,
    mit  fi:=∂i u . Nach [Analysis III:Äußere Ableitung] folgt, falls  f∈C1(Ω;Rn) ,
    0 = ddu = dω.
    Bedingung eq:12 ist äquivalent zu  dω= 0 .
  • Falls  ∇u = 0 , dann folgt, dass  u  auf jeder Zusammenhangskomponente von  Ω  konstant ist, denn ist  γ : [0,1] → Ω  stetig differenzierbar mit  x=γ(0) ,  y=γ(1) , so folgt aus  ∇u=0 , dass
    u(y)-u(x) =
    1
    ∫
    0
    d
    ds
    		 u∘γ(s) ds =
    1
    ∫
    0
    		 ∇u(γ(s))•γ'(s) ds = 0 .
Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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