Arcusfunktionen (am Beispiel des Arcussinus) [sect:3-17]
Als mengenwertige Abbildung ist für z∈C
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Arcsin z := {w∈C; sinw =z } .
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Nun gilt
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z = sinw =
| | ( ei w - e-i w ) |
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ei w = ζ∈C∖{0} und
z =
| | (ζ-
| | ) =: g(ζ).
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Weiter gilt für ζ≠0 :
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für z = ±1 (jeweils ein Wert) |
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Also ist
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Arcsin z =
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| | ( i z +
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| | =0 für z=±1, sonst 2 Werte |
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) |
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Wir wollen nun einen Zweig des Arcussinus angeben.
Dazu studieren wir die Abbildung g .
Es gilt:
g(±1)=0 , g(±i )=±1 , g(ei θ)= sinθ ,
g(-ζ)=-g(ζ) , ∂ζg(ζ) = 1/2i (1+1/ζ2) .
Weiter gilt: Mit r>0 ist
g(±i r) = ±1/2i (i r - 1/i r) = ±1/2(r+1/r) und
Eine Untersuchung dieser Eigenschaften führt zu dem Ergebnis,
dass Folgendes gilt:
Bezeichnet sqrt(z) den Hauptzweig der Wurzelfunktion,
also den Zweig mit sqrt(1)=1 , dann bildet i z + sqrt(1-z2)
das Gebiet D̃:=C∖{t∈R;t2 ≧1 } auf die rechte Halbebene
{ζ∈C; Re (ζ)>0} ab
und mit dem Hauptzweig des Logarithmus folgt:
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arcsin z
:=
| | log ( i z + sqrt(1-z2) )
für z∈D̃ |
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definiert einen Zweig des Arcussinus.
| | Gebiet mit Zweig [fig:3-17-1] |
Bei der obigen Funktion g war ∂ζ g(±i )=0 .
Dies hatte den Effekt, dass lokal in den Punkten ±i
die Funktion g einen Halbraum in die
aufgeschlitzte Ebene abbildete. Während also unter g
| | Abbildung des Halbraums auf aufgeschlitzte Ebene [fig:3-17-2] |
im Urbild ein Bereich von 180∘ abgedeckt wird,
ist es im Bild ein 360∘ -Bereich.
Wir wollen dies nun genauer für allgemeine holomorphe Funktionen studieren.
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