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Linear differential operators Linear differential operators
Gradient operator Gradient operator
Gradient operator Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Proof

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Proof sect:1-1-(3). Klar.
Proof sect:1-1-(1). Sei  x0∈Ω . Betrachte für beliebigen Multiindex  β  das Monom  pβ : Ω → R , gegeben durch
[eq:11-monom]
pβ(x) :=
(x-x0)β
β!
 
 :=
n
∏
i=1
(x-x0)βi
 
βi !
 
  .
Dann folgt für die Ableitungen von  pβ 
[eq:11-derivative]
∂αpβ(x) =
pβ-α(x)
    falls α≦β (d.h. ∀i:  αi≦βi) ,
0
    sonst ,
und daher  ∂αpβ(x0)=δα,β . Sei nun  |β|≦m . Wegen sect:1-1-(3) kann ohne Einschränkung  M=N=1  angenommen werden. Dann gilt
L(pβ)
=
 
∑
α≦β
 aα∂αpβ
=
aβ+
 
∑
α<β
 aαpβ-α .
Definition: Dabei bedeutet  α<β , dass  α≦β  und  α≠β .
Nun ist  ∑ α<βaαpβ-α  stetig, falls  aα  stetig ist für  α<β . Da  L(pβ)  stetig ist, folgt dann, dass  aβ  stetig ist. Damit ist die Stetigkeit der der  aβ  induktiv in  β  gezeigt.
Proof sect:1-1-(2). Falls  L=0 , dann folgt wie im Beweis zu sect:1-1-(1) induktiv, dass  aβ=0 .

Bemerkung 1
Ein analoger Beweis liefert auch, dass die Monome  {pβ;  |β|≦m}  auf jeder offenen Menge  D⊂Rn  linear unabhängige Funktionen sind. (Dabei kann  x0  auch außerhalb von  D  liegen.)
Proof. Betrachte eine Linearkombination
p(x) :=
 
∑
|β|≦m
 aβ
(x-x0)β
β!
 
      mit Koeffizienten aβ∈R.
Nimm an, dass  p=0  in  D . Dann gilt für alle Multiindices  α 
0 =∂αp(x) =
 
∑
β : |β|≦m , β≧α
 aβ pβ-α(x) .
Sei nun  0≦k≦m  mit  aβ=0  für alle  β  mit  k<|β|≦m . Anfänglich ist dies für  k=m  erfüllt. Ist dann  |α|=k , so ist
0 =∂αp(x) =
 
∑
β : |β|≦m , β≧α
 aβ pβ-α(x) = aαp0(x) = aα ,
womit gezeigt ist, dass  aβ=0  für  k-1<|β|≦m . Damit ist die Behauptung gezeigt.

Bemerkung 2
Für die Hintereinanderschaltung von Differentialoperatoren gilt: Ist  L1  von der Ordnung  m1  mit  Cm2 -Koeffizienten und  L2  von der Ordnung  m2 , dann ist  L:=L2∘L1  ein linearer Differentialoperator der Ordnung  m1+m2 . Dies folgt sofort aus der  n -dimensionalen LEIBNIZ-Formel, die wir in sect:1-6 beweisen werden.
Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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