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Proof.
Wir approximieren u lokal durch Faltung mit einer
Standard-DIRAC-Folge (ϕε)ε> 0 .
Sei uε := ϕε ∗ u . Nach Satz sect:2-10 gilt:
∂ conj(z) uε = 0 in BR-ε(z0) .
Sei 0 < r < R und ε< R-r .
Dann gilt mit der CAUCHY'schen Integralformel eq:3-cauchy
auf Ω= Br(z0) für z ∈Br(z0) :
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uε(z) =
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| | νBr(z0)(y) dH1(y)
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und für ε → 0 konvergiert
uε → u in L1(Bϱ(z0))
für alle 0 < ϱ< R , da u lokal integrierbar.
Dann gilt uε → u in L1(H1┗ ∂Br(z0))
für fast alle r<ϱ , denn für ε → 0 gilt:
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0
←
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|uε-u| dL2
=
| |
(
| |
|uε-u| dH1 ) dr .
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Für eine Teilfolge ε → 0 , die wir nicht speziell benennen,
gilt zusätzlich punktweise Konvergenz für fast alle
z mit |z-z0|<ϱ , d.h. uε (z) → u(z) .
Daraus erhalten wir:
Für fast alle z ∈BR(z0) und
für fast alle 0<r<R gilt, wenn |z-z0|<r ,
Mit
folgt
Dabei ist das Integral für alle z ∈Br(z0) definiert
(nicht nur für fast alle z ),
und nach dem Stetigkeitssatz
(siehe
[Analysis III:Stetigkeitssatz]
)
ist ũ eine stetige Funktion auf Br(z0) ,
d. h. u hat einen stetigen Repräsentanten in Br(z0) .
Da dies für fast alle r < R gilt, stimmt also u auf BR(z0)
fast überall mit einer stetigen Funktion überein.
Im Folgenden sei u diese stetige Funktion.
Da dann uε → 0 gleichmäßig auf jeder Kugel
clos(Br(z0)) , erhalten wir mit obiger Schlussweise, dass
für alle z ∈BR(z0) und 0 < r < R mit |z-z0|<r .
Nach Anwenden des Differenzierbarkeitssatzes folgt,
dass u in Br(z0) unendlich oft reell differenzierbar ist.
Es bleibt zu zeigen, dass sich u in eine komplexe Potenzreihe
entwickelen lässt. Dafür bemerke
mit | z-z0/y-z0 | <1 .
Dieser Ausdruck kann mit Hilfe der geometrischen Reihe dargestellt werden, also
Diese Reihe konvergiert absolut, also gilt für |z-z0|<r :
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u(z) =
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(
| | ) k u(y) dH1 (y).
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Für |z-z0| < r'<r konvergiert die Reihe sogar gleichmäßig absolut;
betrachte dazu die Partialsummen:
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| (
| | ) k |
≦
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(
| | ) k
→ 0 für m → ∞.
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Daher können wird die Reihenfolge von Integration und Summation vertauschen
und es folgt:
mit Koeffizienten ak , für die gilt:
Hierbei ist das Integral dividiert durch 2 πr der Mittelwert von |u|
auf dem Rand ∂Br (z0) .
Die Definition der ak ist außerdem unabhängig von r mit 0 < r < R .
Zum Beweis betrachte die Parametrisierung
z = γ(θ) := z0 + r ei θ .
Dann ist γ′(θ)=i r ei θ=i (γ(θ)-z0)
und |γ′(θ)|= r . Für die ak gilt also:
Aus der vorletzten bzw. letzten Darstellung folgt,
dass die Darstellung der ak unabhängig vom Wert der Radien ist,
und zwar nach dem CAUCHY-Integralsatz bzw.
dem GAUSS'schen Satz auf dem Ringgebiet begzüglich zweier Radien,
denn u(z)/(z-z0)k+1 ist holomorph in
BR(z0)∖{z0 } .
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