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Isolated Singularities Isolated Singularities
Isolated Singularities Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Holomorphic functions
[chap:3]


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Definition (CAUCHY-RIEMANN operator)    [sect:3-0]
In this chapter the relevant differential operator is the CAUCHY-RIEMANN operator
L(u)
:=
1
2
∂1u1-∂2u2
∂2u1+∂1u2
=
1
2
1
0
0
1
 ∂1 u +
1
2
0
-1
1
0
 ∂2 u ,
thus  m=1 ,  n=M=N=2  in sect:1-1 (see also example sect:1-2-(4)). In this chapter  L  always denotes this operator. In complex notation we have, using the WIRTINGER-derivatives in [Analysis III:WIRTINGER-derivative]
  • [sect:3-0-(1)]  L(u)=∂ conj(z)u = 1/2(∂1u+i ∂2u) .
  • [sect:3-0-(2)]  LT(v)=-∂zv= -1/2(∂1u-i ∂2u) .
Definition (Holomorphic functions)
Let  Ω⊂C  be an open set. A locally integrable function  u∈L1loc(Ω;C)  is called holomorph, if
L[u]=0 ,
that is  ∑ j Lij[uj]=0  in  D'(Ω)  for  i=1,2 . By sect:3-0 this is equivalent to  ∂ conj(z)[u]=0  and equivalent to
 
 
∫
R2
 ∂zζ•u dL2 = 0     for ζ∈C0∞(R2;R2) .
Remark: In the same manner one can define holomorphic distributions.

Properties of holomorphic functions essentially are a consequence of the form of the fundamental solution for the CAUCHY-RIEMANN operator.

Fundamental solution    [sect:3-1]
Let  L  as in sect:3-0. Then
F̃(z):=
1
 
π|z|2
z1
z2
-z2
z1
=
1
 
π|z|2
 M conj(z)
a fundamental solution  F̃∈L1loc(R2;R2×2)  of  L . Moreover, the  2×2 -matrix  F̃(z)  is the complex multiplication with
[eq:31]
F(z):=
1
πz
 .
The fact, that  F̃  is a fundamental solution, is equivalent to the property
-
 
 
∫
R2
 conj(F) ∂zζdL2 = ζ(0)     for all ζ∈C0∞(R2;C) .
Conclusion    [sect:3-2]
Let  f∈L1(C;C)  be a function with compact support. Then
u(z):=
 
 
∫
R2
f(y)
π(z-y)
 dL2(y)
defines a solution  u∈L1loc(C;C)  of the differential equation
∂ conj(z)[u]=[f] ,
that is
 
∑
j
 Lij[uj]=[fi]      for i=1,2 .
this is equivalent to
-
 
 
∫
R2
 u ∂ conj(z)ζdL2 =
 
 
∫
R2
 fζdL2      for ζ∈C0∞(C;C).
Proof. Apply sect:2-5 to  F̃  and write the result in complex version as in sect:3-1.

Thus applying the general concept of theorem sect:2-5 we obtain special weak solutions of the differential equation  ∂ conj(z)[u]=[f] . These solutions are given by convolution, hence by an integral representation. Therefore it is natural to ask the question, whether all solutions of this differential equation have an integral representation. In [Analysis III:CAUCHY formula] we already have given an answer: This is CAUCHY's integral formula. Here we show, that this formula follows from the properties of the fundamental solution in sect:3-1.

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Im Folgenden werden die Konsequenzen der Integraldarstellung näher behandelt.

Satz (Darstellung durch Potenzreihen)    [sect:3-4]
Sei  D ⊂C  offen und  u ∈L1loc(D;C)  sei holomorph. Dann stimmt  u  fast überall mit einer komplex analytischen Funktion überein.
Definition: Komplex analytisch heißt dabei: Ist  BR(z0) ⊂D , so gilt für fast alle  z ∈BR(z0) :
u(z) =
∞
∑
k=0
 ak (z-z0)k
mit  ak ∈C , wobei diese Reihe absolut konvergiert.
Damit ist also gezeigt, dass jede holomorphe Funktion komplex analytisch ist. Da die Differenz zweier Fundamentallösungen in  L1loc(C;C)  eine holomorphe Funktion ist, erhalten wir insbesondere:
Bemerkung: Jede Fundamentallösung in  L1loc(C;C)  stimmt bis auf eine additive komplex analytische Funktion mit der Fundamentallösung in sect:3-1 überein.

Wir zeigen nun, dass umgekehrt durch komplexe Potenzreihen gegebene Funktionen holomorph sind. Dazu benötigen wir die folgende Aussage über die Konvergenz holomorpher Funktionen.

Damit können wir nun zeigen:

Satz (Potenzreihen in  C )    [sect:3-6]
Seien  z0, ak∈C ,  r≧0 . Für  z∈Br(z0)  konvergiere die Reihe
u(z):=
∞
∑
k=0
 ak(z-z0)k
absolut. (Für  r=0  ist diese Voraussetzung leer.) Dann gilt:
  • [sect:3-6-(1)] Ist  ϱ0∈[0,∞]  definiert durch die JAQUES HADAMAND-Formel
    [eq:36-1]
    1
     
    ϱ0
    		 =
     
    lim sup
    k → ∞
    		 (|ak|)1/k ∈[0,∞],
    so ist  ϱ0≧r  und die Reihe konvergiert absolut für alle  z  mit  |z-z0|<ϱ0 . Für  |z-z0|>ϱ0  konvergiert die Reihe nicht und divergiert absolut.  ϱ0  heißt der Konvergenzradius der Reihe.
  • [sect:3-6-(2)] Falls  ϱ0>0 , so ist  u  auf  Bϱ0(z0)  definiert, unendlich oft (reell) differenzierbar und holomorph. Ferner gilt für  m∈N 
    ∂zmu(z)=
    ∞
    ∑
    k=m
    k!
    (k-m)!
    		 ak(z-z0)k-m,
    wobei diese Reihen ebenfalls den Konvergenzradius  ϱ0  haben. Speziell gilt für die Koeffizienten:
    am=
    1
    m!
    		 ∂zmu(z0).
  • [sect:3-6-(3)] Ist  ϱ0>0 , so gilt für  k≧0  und alle  0<ϱ<ϱ0 
    ak=
    1
    2πϱ
     
     
    ∫
    ∂Bϱ(z0)
    u(y)
     
    (y-z0)k
    		 dH1(y) =
    1
    2πi 
     
     
    ∫
    ∂Bϱ(z0)
    u(z)
     
    (z-z0)k+1
    		 dz.
    Speziell gilt für  k=0  wegen  a0=u(z0) :
    u(z0)=
    1
    2πϱ
     
     
    ∫
    ∂Bϱ(z0)
    		 u(y) dH(y).
    Dies nennen wir auch die Mittelwerteigenschaft, da die rechte Seite der Mittelwert von  u  auf dem Rand der Kugel ist.
Spezielle und oft benutzte holomorphe Funktionen sind die Elementaren Funktionen.

Elementare Funktionen    [sect:3-8]
  • [sect:3-8-(1)] Exponentialfunktion.  Sei  z∈C . Wir definieren
    exp (z):=ez:=
    ∞
    ∑
    k=0
    1
    k!
    		 zk.
    Der Konvergenzradius der Reihe ist  ∞ , da  (k!)1/k → ∞  für  k → ∞ . Die Ableitung ist
    ∂zez=ez.
    Außerdem gilt für  z,z̃∈C :
    ez+z̃
    =
    ezez̃     (siehe Satz sect:2-6),
    conj(ez)
    =
    e conj(z) ,
    |ez|
    =
    e Re (z)>0 .
  • [sect:3-8-(2)] Trigonometrische Funktionen (EULER'sche Formeln).  Sei  z∈C . Wir definieren:
    cos(z)
    :=
    1
    2
    		 (ei z+e-i z) =
    ∞
    ∑
    k=0
    (-1)k
    (2k)!
     
    		 z2k,
    sin(z)
    :=
    1
    2i 
    		 (ei z-e-i z) =
    ∞
    ∑
    k=0
    (-1)k
    (2k+1)!
     
    		 z2k+1,
    cosh(z)
    :=
    1
    2
    		 (ez+e-z) = cos(i z),
    sinh(z)
    :=
    1
    2
    		 (ez-e-z)=
    1
    i 
    		   sin(i z).
    Die Ableitungen sind:
    ∂z sin(z)
    =
    cos(z),
    ∂z cos(z)
    =
    - sin(z),
    ∂z sinh(z)
    =
    cosh(z),
    ∂z cosh(z)
    =
    sinh(z).
    Ferner gilt
    ei z
    =
    cos(z)+i   sin(z),
    1
    =
    cos2(z)+ sin2(z),
    sowie die üblichen Additionstheoreme. Für  r |→ er ,  r∈R , und für  θ |→ ei θ= cosθ+i   sinθ ,  θ∈R , gelten die Aussagen aus Analysis I, insbesondere die Definition von  π . Damit gilt
    ez=1     <==>     z∈ 2πi Z.
  • [sect:3-8-(3)] Tangensfunktionen.  Für  z∈C  mit   cos(z)≠0 , d.h.  z ∉π(1/2+Z) , sei
    tan(z):=
    sin(z)
    cos(z)
    		 = -i 
    e2i z-1
     
    e2i z+1
     
    		 .
    Für  z∈C  mit   sin(z)≠0 , d.h.  z∉πZ  sei
    cot(z):=
    cos(z)
    sin(z)
    		 = i 
    e2i z+1
     
    e2i z-1
     
    		 .
    Die Ableitungen sind
    ∂z tan(z)
    =
    1
     
    cos2(z)
    		 = 1+ tan2(z),
    ∂z cot(z)
    =
    -
    1
     
    sin2(z)
    		 = -(1+ cot2(z)).
Im Folgenden befassen wir uns mit den zugehörigen Umkehrfunktionen.

Eine weitere Klasse oft benutzter holomorpher Funktionen sind Transformationen auf der komplexen Ebene. Dazu zunächst folgende

Wir definieren:

Konforme Abbildungen    [sect:3-18]
Sei  D ⊂C  offen und  τ : D → C  holomorph. Dann heißt  τ  konforme Abbildung, falls eine der folgenden punktweise äquivalenten Aussagen für jedes  z0 ∈D  erfüllt ist:
  • [sect:3-18-(1)]  τ  ist winkeltreu in  z0 , d.h. schneiden sich zwei Kurven in  z0  unter einem Winkel, so sind die Bilder wieder Kurven und schneiden sich unter demselben Winkel.
  • [sect:3-18-(2)]  ∂z τ(z0) ≠0 .
  • [sect:3-18-(3)]  τ  ist in einer Umgebung von  z0  ein Diffeomorphismus.
Definition:  τ  heißt konforme Transformation, falls zusätzlich gilt:  τ : D → τ(D)  ist bijektiv.
Einige konforme Transformationen kamen oben bei der Behandlung der elementaren Funktionen vor: Es ist natürlich, nach der Menge aller globalen konformen Transformationen zu fragen.

Wir beweisen nun den oben benutzten Satz von LIOUVILLE.

Satz (Allgemeiner Satz von LIOUVILLE)    [sect:3-20]
Sei  u : C → C  holomorph,  m≧0  eine ganze Zahl, und gelte
[eq:3-liouville]
 
lim sup
|z| → ∞
|u(z)|
 
|z|m
 <∞.
Dann ist  u  ein komplexes Polynom vom Grade höchstens  m .
Speziell ( m=0 ): Satz von LIOUVILLE.  Jede beschränkte, auf ganz  C  holomorphe Funktion ist konstant.
In sect:3-6-(3) hatten wir folgende Mittelwerteigenschaft bewiesen;
u(z0)=
1
2πϱ
 
 
∫
∂Bϱ(0)
 u(y) dH1(y).
Eine wichtige Folgerung aus der Mittelwerteigenschaft ist das Maximumprinzip, das wir im folgenden Satz formulieren:

Satz (Maximumprinzip)    [sect:3-21]
Sei  D⊂C  offen und zusammenhängend,  u : D → C  sei holomorph. Dann gilt: Hat  |u|  in einem Punkt in  D  ein lokales Maximum, so ist  u  konstant auf  D .

Folgerung
Sei  D⊂C  offen und beschränkt,  u : clos(D) → C  stetig und in  D  holomorph. Dann gilt für alle  z0∈D :
|u(z0)|≦
 
sup
z∈∂D
 |u(z)|.
Im letzten Beweis hatten wir benutzt:

Identitätssatz    [sect:3-22]
Sei  D⊂C  offen und zusammenhängend,  u : D → C  holomorph. Dann gilt: Hat die Nullstellenmenge von  u  in  D  einen Häufungspunkt, so ist  u=0  in ganz  D .
Anders formuliert: Die Nullstellenmenge von  u  ist entweder ganz  D , oder sie besteht lokal aus endlich vielen Punkten.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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