Further examples Further examples
Fundamental solutions Fundamental solutions
Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Approximation theorem

english This node has not yet been translated
This is the original german version german


Approximationssatz    [sect:2-11]
Sei  Ω⊂Rn  offen,  L  ein Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten und  f∈L1loc(Ω;RM)  sowie  u∈L1loc(Ω;RN)  mit
 
∑
j
 Lij[uj]=[fi] für i=1,...,M .
Dann sind  uε:=ϕε ∗ u ,  fε:=ϕε ∗ f   C∞ -Funktionen in  Ωε , wobei  Ωε  offen so gewählt sei, dass  Bε(Ωε) ⊂Ω  und  (ϕε)ε>0  eine Standard-DIRAC-Folge sei. Und es gilt
L(uε) = fε in Ωε.

Proof. Es sind  uε : Ωε → RN  und  fε : Ωε → RM  unendlich oft differenzierbar nach [Analysis III:Faltung] .

Da  L  konstante Koeffizienten hat, gilt  Lij(ϕε∗ uj) = (Lijϕε)∗ uj  für alle  i,j . Es folgt f"ur  x0∈Ωε :

 
∑
j
 Lij(ϕε∗ uj)(x0)
=
 
∑
j
 ( (Lijϕε)∗ uj ) (x0)
=
 
∑
j
 
 
∫
Rn
 (Lijϕε)(x0-y)uj(y) dy  .
Nun ist
(Lijϕε)(x0-y) = (LT)ji(ϕε(x0-·))(y)  ,
wobei
supp ϕε(x0-·)⊂Bε(x0)⊂Ω .
Also ist obige rechte Seite
=
 
∑
j
 Lij[uj](ϕε(x0-·))
=
[fi](ϕε(x0-·))
=
 
 
∫
Rn
 fi(y)ϕε(x0-y) dy
=
(ϕε∗ fi)(x0)  .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

Further examples Further examples
Fundamental solutions Fundamental solutions
Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany