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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

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Proof. Es ist  N=n . Da  M=1  werden in der Definition des Operators nach sect:1-1 Matrizen in  R1×n  mit  Rn  identifiziert und in der Definition der Fundamentallösung  Rn×1  mit  Rn . Also ist  L=(Lj)j=1,...,n=(∂j)j=1,..., n  und  F=(Fj)j=1,..., n . Zu zeigen ist also
n
∑
j=1
 ∂j[Fj] = δ0 .
Nun ist für  ζ∈C0∞(Rn) 
 
∑
j
 ∂j[Fj](ζ) = -
 
∑
j
 
 
∫
Rn
 Fj ∂jζdLn = -
 
 
∫
Rn
 F•∇ζdLn .
Aus Analysis III (siehe [Analysis III:Divergenz] ) wissen wir, dass im klassischen Sinne   div F=0  in  Rn∖{0}  gilt. Daher betrachten wir
-
 
 
∫
Rn∖Bε(0)
 F•∇ζdLn → -
 
 
∫
Rn
 F•∇ζdLn      für ε → 0
und benutzen den Satz von GAUSS. Partielle Integration ergibt
-
 
 
∫
Rn∖Bε(0)
 F•∇ζdLn
=
 
 
∫
∂Bε(0)
 ζ  F•νBε(0) dHn-1
=
 
 
∫
∂Bε(0)
 ζ(x)
1
 
ϭn
x
 
|x|n
 •
x
|x|
 dHn-1(x)
=
 
 
∫
∂Bε(0)
 ζ(x)
1
 
ϭnεn-1
 dHn-1(x)
=
1
 
ϭnεn-1
 
 
∫
∂Bε(0)
 ζ(x) dHn-1(x)
=
1
 
ϭn
 
 
∫
∂B1(0)
 ζ(εy) dHn-1(y) .
In der Variablen  y∈∂B1(0)  konvergiert  ζ(εy)  gleichmäßig gegen  ζ(0) . Daher konvergiert der letzte Ausdruck für  ε → 0  gegen  ζ(0) .
Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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