Motivation
Nach Definition sect:2-2 für die Fundamentallösung F
eines Differentialoperators L im Falle N=M=1 ist
(wir betrachten eine L1loc -Fundamentallösung)
Damit gilt für eine Verschiebung des Ursprungs unter Ausnutzung
der Vorausetzung, dass L konstante Koeffizienten hat:
Der Beweis ist wie folgt:
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L[F](ζ(·+ x0))
= δ0(ζ(·+ x0))
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ζ(x+x0)
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= ζ(x0)
= δx0(ζ)
.
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Darüber hinaus gilt wegen der Linearität von L
für x1,...,xm∈Rn und c1,...,cm∈R das
Superpositionsprinzip:
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L[
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ci F(·- xi)]
=
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ci δxi
.
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Bei richtiger Belegung der ci strebt die rechte Seite gegen [f]
und dann das Argument von L auf der linken Seite
gegen [F∗ f] .
In der Tat: Zerlegt man den Rn gleichmäßig in Quader Qi
der Kantenlänge ε und wählt
f∈L1loc (Rn) , ci:=∫ Qi f(x) dx ,
so lässt sich die Konvergenz im Distributionssinn
folgendermaßen einsehen:
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ci ζ(xi)-
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ζ(x) f(x) dx | |
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|ζ(y1)-ζ(y2)|·||f||L1(Rn) ,
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was im Limes für ε→0 gegen 0 geht.
Im gleichen Sinne lässt sich die Konvergenz von
[∑ i=1m ci F(·- xi)]→[F ∗ f] einsehen.
Diese heuristische Betrachtung motiviert die Vermutung,
dass [F∗ f] die Gleichung L[u]=[f] löst.
Dies beweist der folgende Satz.
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