Connection to DIRAC sequences Connection to DIRAC sequences
Fundamental solutions Fundamental solutions
Motivation Motivation
Motivation Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Ordinary differential operators

english This node has not yet been translated
This is the original german version german


Satz (Gewöhnliche Differentialgleichung)    [sect:2-3]
Sei  n=1 ,  N=M=1  in sect:2-2. Dann gilt:
  • [sect:2-3-(1)] Für  L(u):=u′  für  u∈C1(R)  (es ist  m=1  in sect:2-2) definiert
    F(x) :=
    1
        für x>0 ,
    0
        für x<0 ,
    eine Fundamentallösung  F∈L1loc(R) . Jede andere Fundamentallösung aus  L1loc(R)  ist bis auf eine additive Konstante gleich  F .

    -*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
    Fundamentallösung zu  L(u)=u′   [fig:2-3-1]

  • [sect:2-3-(2)] Für  L(u):=u′′  für  u∈C2(R)  (es ist  m=1  in sect:2-2) definiert
    F(x):=
    1
    2
    		 |x|
    eine Fundamentallösung  F∈C0(R) . Jede andere Fundamentallösung aus  L1loc(R)  ist bis auf eine (affin) lineare Funktion gleich  F .

    -*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
    Fundamentallösung zu  L(u)=u′′   [fig:2-3-2]

Proof sect:2-3-(1). Sei  ζ∈C0∞(R) . Dann gilt
[F]′(ζ)=
 
∫
R
 (-ζ′(x))F(x) dx = -
∞
∫
0
 ζ′(x) dx = ζ(0).
Ist  F̃∈L1loc(R)  eine weitere Fundamentallösung, so gilt  [F-F̃]′=0 . Dann folgt mit sect:1-16:  F-F̃  ist fast überall eine konstante Funktion (ein Polynom  0 -ten Grades).
Proof sect:2-3-(2). Es gilt
[F]′′(ζ)=
 
∫
R
 ζ′′(x)F(x) dx =
0
∫
-∞
 ζ′′(x)
-x
2
 dx +
∞
∫
0
 ζ′′(x)
x
2
 dx.
Partielle Integration liefert
[F]′′(ζ) =
0
∫
-∞
1
2
 ζ′(x) dx -
∞
∫
0
1
2
 ζ′(x) dx =
1
2
 ζ(0)+
1
2
 ζ(0)=ζ(0).
Ist  F̃∈L1loc(R)  eine andere Fundamentalösung, so folgt aus  [F-F̃]′′=0  mit sect:1-16, dass  F-F̃  fast überall eine affin lineare Funktion ist.

Fundamentallösungen werden dazu benutzt, Integraldarstellungen von Lösungen der Differentialgleichung herzuleiten.

Satz (Integraldarstellung für  L(u)=u′ )    [sect:2-4]
Sei  I=]a,b[ ,  a,b∈R ,  u,f∈L1(I) ,  x0∈clos(I) . Dann sind äquivalent:
  • [sect:2-4-(1)]  [u]′=[f]  in  D'(I) .
  • [sect:2-4-(2)] Es gibt ein  u0∈R  mit
    u(x)=u0 +
    x
     
    ∫
    x0
    		 f(y) dy      für fast alle x∈I .
    Beachte: Die rechte Seite dieser Identität ist stetig in  x . Dies bedeutet, dass  u  einen stetigen Repräsentanten in  L1(I)  besitzt.

Proof sect:2-4-(2)  ==>  sect:2-4-(1). Eine Änderung von  x0  bewirkt nur eine Änderung von  u0 , also sei ohne einschränkung  x0=a . Dann ist für  ζ∈C0∞(I) 
[u]′(ζ)=-
 
∫
I
 ζ′(x)u(x) dx = -
 
∫
I
 ζ′(x)u0 dx -
b
∫
a
 ζ′(x)
x
∫
a
 f(y) dy  dx.
Mit partieller Integration ist der erste Summand
= - u0
 
∫
I
 ζ′(x) dx = 0 ,
und mit dem Satz von FUBINI ist der zweite Summand
= -
b
∫
a
 f(y) (
b
∫
y
 ζ′(x) dx ) dy =
b
∫
a
 f(y)ζ(y) dy = [f](ζ).
Proof sect:2-4-(1)  ==>  sect:2-4-(2). Definiere
ũ(x):=
x
∫
a
 f(y) dy.
Nach dem Beweis von (sect:2-4-(2)  ==>  sect:2-4-(1)) gilt  [ũ]′=[f] , also  [u-ũ]′=0 . Mit sect:1-16 ist  u-ũ= c0  fast überall für ein  c0∈R , also gilt für fast alle  x ∈I 
u(x)=c0+ũ(x) = c0 +
x
∫
a
 f(y) dy .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

Connection to DIRAC sequences Connection to DIRAC sequences
Fundamental solutions Fundamental solutions
Motivation Motivation
Motivation Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany