Zusammenhang mit DIRAC-Folgen
Sei (ϕk)k∈N eine DIRAC-Folge
(siehe
[Analysis III:DIRAC-Folge]
),
so gilt für alle ζ∈C0∞(Rn) :
[ϕk](ζ) → δ0(ζ) für k → ∞.
Proof.
Wegen ∫ Rnϕk(x) dx = 1 gilt
[ϕk](ζ)-δ0(ζ) =
∫
Rn
ϕk(x)
ζ(x) dx - ζ(0) =
∫
Rn
(ζ(x)-ζ(0))ϕk(x)dx.
Also folgt
| [ϕk](ζ)-δ0(ζ)|
≦
∫
Br(0)
|(ζ(x)-ζ(0))ϕk(x)| dx
+
∫
Rn∖Br(0)
|(ζ(x)-ζ(0))ϕk(x)| dx
≦
sup
|x|≦r
|ζ(x)-ζ(0)|
∫
Br(0)
ϕk(x)dx
≦1
+
2 || ζ ||C0
∫
Rn∖Br(0)
ϕk(x) dx.
Der erste Summand konvergiert (gleichmäßig in k ) gegen 0 für
r → 0 , da ζ in 0 stetig ist,
und der zweite Summand konvergiert bei festem r
für k → ∞ gegen 0
wegen der Eigenschaft einer DIRAC-Folge.
