Strong derivative Strong derivative
Linear differential operators Linear differential operators
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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

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Proof. Seien  Ω' ,  ϕε  und  uε  wie im vorhergehenden Beweis. Für kleines  ε  ist dann  ∂α uε = 0  in  Ω'  für  |α| =k . Damit ist  uε  (nach der TAYLORentwicklung, siehe sect:1-17 unten) in  Ω'  ein Polynom  pε  der Ordnung höchstens  k-1 , also  uε = pε  in  Ω'  mit:
pε (x)=
 
∑
|α|< k
 aεα
(x-x0)α
α!
 
      mit Zahlen aεα∈R.
Hinweis: Der Entwicklungspunkt ist hierbei irrelevant, da jedes Polynom bei Änderung dieses Punktes mit anderen Koeffizienten in dieselbe Form gebracht werden kann, denn für eine alternative Entwicklungsstelle  x1  gilt:
(x-x0)α = ( (x-x1) +(x1-x0) ) α,
wobei die rechte Seite als Linearkombination der Ausdrücke  (x-x1)β  geschrieben werden kann.

Nun wissen wir nach [Analysis III:Approximation durch Faltung] , dass  pε = ϕε ∗ u → u  in  L1(Ω') . Wir fragen nun: Folgt aus dieser Konvergenz der Polynome  pε , dass deren Koeffizienten  aεα  konvergieren?

Sei hierzu  V:= {a = (aα)|α|< k   ;   aα ∈R} , was ein endlichdimensionaler EUKLIDischer Raum mit der EUKLIDischen Norm

|a| := (
 
∑
|α|< k
 |aα|2 ) 1/2
ist. Zu  a ∈V  sei
pa (x) :=
 
∑
|α|< k
 aα
(x-x0)α
α!
 
 .
Dann ist
|| a || :=
 
∫
Ω'
 |pa (x)| dx = || pa || L1(Ω')
eine weitere Norm auf  V , denn aus   || pa || = 0  folgt  pa = 0  und daraus  a = 0 , da die Monome linear unabhängig sind.

Nach Analysis II, Satz 1.8, folgt, dass die beiden Normen äquivalent sind. Also gibt es ein  C , so dass  |a| ≦C || a ||   für alle  a ∈V .

Nun betrachte eine Nullfolge  (εk)k∈N . Wir wissen, dass  paεk = pεk → u  in  L1(Ω')  für  k → ∞ . Damit folgt

|aεl - aεk| ≦C || pεl- pεk || L1(Ω') → 0
für  k,l → ∞ . Also ist  (aεk)k ∈N  eine CAUCHY-Folge in  V . Sei  a ∈V  der Grenzwert, der existiert, da  V  als endlichdimensionaler EUKLIDischer Raum auch vollständig ist. Nun folgt auch aus obiger Normäquivalenz auch, dass es eine Konstante  C'  gibt, so dass   || a || ≦C' |a|  für alle  a ∈V , also
|| paεk -pa || L1(Ω') = || aεk - a || ≦C' |aεk - a | → 0
für  k → ∞ . Da aber auch  paεk = pεk → u  in  L1(Ω') , folgt  u = pa  fast überall in  Ω' .

In obigem Beweis hatten wir benutzt:

Satz (TAYLOR-Entwicklung)    [sect:1-17]
Sei  u∈Cm(Br(x0);Y) ,  r>0 ,  Y=Rl  (allgemeiner kann  Y  ein beliebiger BANACH-Raum sein). Dann gilt für  x∈Br(x0) :
u(x)=
 
∑
|α|≦m
(x-x0)α
α!
 
 ∂αu(x0)+ Rm(x),
mit dem Restglied
[eq:1-taylor1]
Rm(x)=
 
∑
|α|=m
(x-x0)α
α!
 
1
∫
0
 ( ∂αu(x0+s(x-x0))-∂α u(x0) ) m(1-s)m-1 ds,
und
|Rm(x)|
 
|x-x0|m
 
 → 0 für x → x0.
Ist  u  zusätzlich  m+1 -mal stetig differenzierbar, so gilt alternativ für das Restglied auch folgende Formel:
[eq:1-taylor2]
Rm(x) =
 
∑
|β|=m+1
(x-x0)β
β!
 
1
∫
0
 ∂βu(x0+s(x-x0))(m+1)(1-s)m ds ,
und es gibt ein von  u  abhängendes  Cu≧0 , so dass
|Rm(x)|
 
|x-x0|m+1
 
 ≦Cu für |x-x0|<
r
2
 .
Mit LANDAU-Symbolen (siehe unten) formuliert heißt das im Fall  u∈Cm(Br(x0);Y) :
Rm(x) = o(|x-x0|m)      für x → x0 ,
und im Fall  u∈Cm+1(Br(x0);Y) :
Rm(x) = O(|x-x0|m+1)      für x → x0 .

Definition (LANDAU-Symbole)    [sect:1-17def]
Sei  x0∈S⊂X ,  f : S → Y ,  g : S → [0,∞[  mit normierten Räumen  X  und  Y . Dann sagt man
f(x) = o(g(x)) in Y für x → x0  : <==>  
∀ε>0 ∃δ>0 :  |x-x0|<δ ==> || f(x) || Y≦εg(x) ,
und
f(x) = O(g(x)) in Y für x → x0  : <==>  
∃C>0 ∃δ>0 :  |x-x0|<δ ==> || f(x) || Y≦C g(x) .
Falls  g(x)>0  für  x≠x0 , dann ist also
f(x) = o(g(x)) in Y für x → x0   <==>  
f(x)
g(x)
 → 0 in Y für x≠x0, x → x0 .

Proof sect:1-17. Sei zuerst  m=1 . Dann gilt
u(x)
=
u(x0) +
1
∫
0
d
ds
 u(x0+s(x-x0)) ds
=
u(x0) +
n
∑
i=1
 (x-x0)i
1
∫
0
 ∂i u(x0+s(x-x0)) ds
=
u(x0) +
n
∑
i=1
 (x-x0)i∂iu(x0)
+
n
∑
i=1
 (x-x0)i
1
∫
0
 ( ∂iu(x0+s(x-x0)) - ∂iu(x0) ) ds .
Dies ist gerade die erste Darstellung des Resttermes eq:1-taylor1 im Fall  m=1 . Gelte die Darstellung nun für  m  und sei  u   m+1 -mal stetig differenzierbar. Dann gilt
∂αu(x0+s(x-x0)) - ∂αu(x0) =
n
∑
i=1
 (x-x0)i
s
∫
0
 ∂i∂αu(x0+t(x-x0)) dt .
Da  ∂i∂αu=∂α+eiu , folgt für das Restglied:
Rm(x) =
 


 
∑
|α|=m
i=1,...,n
β:=α+ei
(x-x0)β
α!
 
1
∫
0
s
∫
0
 ∂βu(x0+t(x-x0)) dt m(1-s)m-1 ds
=
 
∑
|β|=m+1
(x-x0)β
β!
 
 (
n
∑
i=1
β!
 
(β-ei)!
 )
1
∫
0
 ∂βu(x0+t(x-x0))
1
∫
t
 m(1-s)m-1 ds dt .
Da  ∑ i=1nβ!/(β-ei)!=∑ i=1nβi=|β|=m+1  und
1
∫
t
 m(1-s)m-1 ds =
1-t
∫
0
 mrm-1 dr = (1-t)m ,
ist dies die zweite Darstellung eq:1-taylor2 für  Rm . Die erste Darstellung für  m+1  ergibt sich aus dieser Darstellung, indem man  ∂βu(x0+s(x-x0))  durch  ∂βu(x0)  plus einen Ausgleichsterm ersetzt.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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