Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Strong derivative

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Linear differential operators

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Strong derivative

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Es ist leicht nachzuvollziehen, dass für u ∈C^k(Ω; R^N) und |α| ≦k , gilt:

∂^α [u_j] = [∂^α u_j],

denn mit partieller Integration gilt:

(-1)^|α|

∫

∂^α ζ·u_j dLⁿ =

∫

ζ·∂^α u_j dLⁿ.

Es ist also zu klären, ob auch die Umkehrung dieser Aussage gilt. Darunter wollen wir für N=1 folgende Frage verstehen: Seien u, f_α ∈C⁰(Ω) für |α| ≦k und es gelte:

∂^α [u] = [f_α] .

Folgt daraus auch u ∈C^k(Ω) mit f_α = ∂^α u ?

Um diese Frage beantworten zu können, brauchen wir zunächst den folgenden Satz:

Satz [sect:1-14]

Sei Ω⊂R^N offen und beschränkt. Dann ist C^k(clos(Ω);R^N) mit || · || _C^k ein Banachraum.

Hinweis: Für k=1 erhält man damit einen Satz aus Analysis II: Sei Ω⊂Rⁿ offen und seien u_k , k ∈N , stetig differenzierbar auf Ω mit u_k → u und ∂_i u_k → v_i gleichmäßig in Ω . Dann ist u stetig differenzierbar und v_i = ∂_i u .

An dieser Stelle sollte bemerkt werden, dass auf Grund der Normäquivalenzen im R^l (siehe Analysis II) die wie folgt angegebenen Normen auf C^k(clos(Ω);R^N) äquivalent sind:

|| u || _{C^k(clos(Ω))}

∑

|α|≦k

sup

x ∈Ω

|∂^α u (x)| ,

|| u || _{C^k(clos(Ω))}

max

|α|≦k

sup

x ∈Ω

|∂^α u (x)| .

Daher wird im Folgenden nicht spezifiziert, welche Norm mit || · || _{C^k(clos(Ω))} gemeint ist. Dem Leser bleibt überlassen, welche der beiden obigen Normen er bevorzugt.

Proof. C^k(clos(Ω);Rⁿ) ist mit der oben angegebenen Norm ein normierter Vektorraum. Es bleibt also die Vollständigkeit zu beweisen. Dafür sei (u_l)_{l ∈N} eine CAUCHY-Folge in C^k(clos(Ω);Rⁿ) . Dann gilt für |α| ≦k : (∂^α u_l)_{l ∈N} ist eine CAUCHY-Folge in C⁰ (clos(Ω);Rⁿ) .

Aus Analysis II, Satz 2.12 wissen wir: Es existiert ein v_α∈C⁰(clos(Ω);Rⁿ) so dass gilt:

lim

l → ∞

|| ∂^α u_l - v_α || _{C⁰(clos(Ω))} = 0.

Setzt man nun u := v₀ , so ist zu zeigen: u ∈C^k(clos(Ω);Rⁿ) mit ∂^α u = v_α .

Sei jetzt x ∈Ω und y nahe x (innerhalb eines ε -Balls, der in clos(Ω) enthalten ist). Dann gilt:

u_l(y) - u_l(x)

∫

u_l ( x+s(y-x) ) ds

∑

i=1

∫

∂_i u_l(x+s(y-x)) ·(y-x)_i ds .

Da u_l → u und ∂_i u_l → v_{e_i} gleichmäßig in clos(Ω) , folgt:

u(y) - u(x) =

∑

i=1

∫

v_{e_i} ( x+s(y-x) ) ·(y-x)_i ds

∑

i=1

v_{e_i} (x) ·(y-x)_i +

∑

i=1

∫

( v_{e_i}(x+s(y-x)) - v_{e_i} (x) ) ·(y-x)_i ds .

Damit gilt:

|y-x|

· | u(y)-u(x) -

∑

i=1

v_{e_i}(x)(y-x)_i |

≦

∑

i=1

∫

| v_{e_i} ( x+s(y-x) ) - v_{e_i}(x) | ds

≦

∑

i=1

sup

s ∈[0,1]

| v_{e_i}(x+s(y-x)) - v_{e_i}(x) |

→ 0 für y → x

Dieser Ausdruck konvergiert gegen 0 für y → x , da v_{e_i} stetig.

Das heißt wiederum, dass du(x) existiert und

du(x) (z) =

∑

i=1

v_{e_i}(x) z_i.

Also ist u stetig differenzierbar mit ∂_i u(x) = v_{e_i}(x) und der Satz ist bewiesen für k=1 .

Für allgemeines k führe obige Arguementation für ∂^α u mit |α|<k statt u durch und erhalte, dass v_α stetig differenzierbar mit ∂_i v_α = v_{α+e_i} .

Nun können wir die vor Satz sect:1-14 gestellte Frage beantworten.

Satz [sect:1-15]

Sei u,f_α ∈C⁰(Ω;R^N) mit ∂^α[u_j] = [f_αj] für |α|≦k und j = 1 , ..., N . Dann ist u ∈C^k(Ω;R^N) mit ∂^αu = f_α in Ω für |α|≦k .

Proof. Sei Ω' offen und so, dass clos(Ω') ⊂Ω kompakt. (ϕ_ε)_ε>0 sei die Standard-DIRAC-Folge sowie u_ε := ϕ_ε ∗ u und f_αε := ϕ_ε ∗ f_α .

Behauptung: Ist ε klein genug, so gilt: ∂^α u_ε = f_αε in Ω' (siehe auch Satz sect:2-10).

Zum Beweis sei ζ∈C₀^∞(Ω') und N=1 sowie ϕ̃_ε(z) := ϕ_ε(-z) . u werde außerhalb von Ω durch 0 fortgesetzt. Damit gilt nach Analysis III (siehe [Analysis III:Proposition] ):

∫

Ω'

ζ·∂^α u_ε dLⁿ

(-1)^|α|

∫

Ω'

∂^α ζ·ϕ_ε ∗ u dLⁿ (partielle Integration)

(-1)^|α|

∫

Rⁿ

ϕ̃_ε ∗ ( ∂^α ζ )

= ∂^α(ϕ̃_ε ∗ ζ)

·u dLⁿ

(-1)^|α|

∫

Rⁿ

∂^α(ϕ̃_ε ∗ ζ) ·u dLⁿ .

Hier sind nun ϕ̃_ε ∗ ζ∈C₀^∞ (Ω) für ε klein genug, also "erlaubte" Testfunktionen, daher:

(-1)^|α|

∫

Rⁿ

∂^α(ϕ̃_ε ∗ ζ) u dLⁿ

(-1)^|α| [u] ( ∂^α(ϕ̃_ε ∗ ζ) )

∂^α [u] (ϕ̃_ε ∗ ζ)

[f_α] (ϕ̃_ε ∗ ζ) nach Vor.

∫ ϕ̃_ε ∗ ζ·f_α dLⁿ

∫

ζ·ϕ_ε ∗ f_α dLⁿ wie oben

∫

ζ·f_αε dLⁿ .

Das gilt für alle Testfunktionen. Damit folgt mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung ∂^α u_ε = f_αε in Ω' .

Jetzt wissen wir: u_ε = ϕ_ε ∗ u → u und ∂^α u_ε = ϕ_ε ∗ f_α → f_α gleichmäßig in clos(Ω') für |α| ≦k .

Also ist für jede Nullfolge (ε_l)_{l ∈N} die Folge (u_l)_{l ∈N} eine CAUCHY-Folge in C^k(clos(Ω')) .

Daraus folgt mit Satz sect:1-14: Es gibt ein ũ∈C^k (clos(Ω')) mit u_{ε_l} → ũ gleichmäßig in clos(Ω') und ∂^α u_{ε_l} → ∂^α ũ gleichmäßig in Ω für alle |α| ≦k .

Damit ist ũ= u und ∂^α ũ= f_α in Ω' .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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