Definition (Distributionen) [sect:1-11]
Sei Ω⊂Rn offen.
Als Distribution bezeichnet man nicht
alle linearen Abbildungen von C0∞(Ω) nach
R , sondern nur eine Vektorraum
D'(Ω) mit gewissen
Stetigkeitseigenschaften, so dass die Operationen
in sect:1-9-(1)-sect:1-9-(4)
in D'(Ω) möglich sind.
D'(Ω) heißt
Raum der Distributionen
auf Ω .
Der Vollständigkeit halber geben wir hier die formale Definition,
obwohl sie für die weitere Vorlesung nicht benötigt wird:
Es ist S∈D'(Ω) genau dann, wenn
S : C0∞(Ω) → R linear
und es für alle offenen Mengen Ω' ,
deren Abschluss kompakt in Ω liegt
( clos(Ω')⊂Ω ), ein kΩ'∈N und
CΩ'≧0 gibt, mit
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|S(ζ)|≦CΩ' ||ζ||Ck(clos(Ω'))
für alle ζ∈C0∞(Ω').
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Bemerkung:
Ist S∈D'(Ω) , a∈C∞(Ω) dann sind auch
∂iS, aS∈D'(Ω) .
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