Proof sect:1-9-(1).
Hier ist die Injektivität von u |→ [u] zu zeigen.
Sei also [u]=0 , d. h.
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ζu dLn=0
für alle ζ∈C0∞(Ω).
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Wir haben zu zeigen, dass u=0 fast überall.
Dazu brauchen wir das Fundamentallemma der Variationsrechnung
für L1 -Funktionen.
Sei hierfür Ω' offen,
so dass clos(Ω') kompakt in Ω enthalten ist.
Weiter sei (ϕε)ε>0 eine Standard-DIRAC-Folge.
Dann folgt mit ϕ̃ε(x):=ϕε(-x)
aus Analysis III (siehe
[Analysis III:Proposition]
)
für ζ∈C0∞(Ω') für kleines ε>0 :
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ζ ϕε∗ u dLn
=
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(ϕ̃ε∗ ζ) u dLn=0 ,
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da ϕ̃ε∗ ζ∈C0∞(Ω) .
Da dies für alle ζ∈C0∞(Ω') gilt,
folgt mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung
in
[Analysis III:Fundamentallemma]
:
Da ϕε∗ u → u in L1(Ω') ,
verschwindet u fast überall in Ω' .
Da dies für alle Ω' wie oben gilt,
folgt u=0 fast überall in Ω .
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