Transposed differential operator Transposed differential operator
Linear differential operators Linear differential operators
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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

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Beispiele    [sect:1-8]
Hier einige wichtige Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten und deren transponierter Operator.
  • [sect:1-8-(1)]  L(u) := ∇u . Dann ist  LT(v)=- div (v) .
  • [sect:1-8-(2)]  L(u) := div (u) . Dann ist  LT(v)=-∇v .
  • [sect:1-8-(3)]  L(u) := ∂ conj(z) u . Dann ist  LT(v)=-∂z v .
  • [sect:1-8-(4)]  L(u) := Δu . Dann ist  LT(v)=Δv , also  LT=L .
  • [sect:1-8-(5)]  L(u) := ∂t u-Δu . Dann ist  LT(v) = -∂t v-Δv , was die sogenannte Rückwärts-Wärmeleitungsgleichung ist.
  • [sect:1-8-(6)]  L(u) := ∂t2 u-Δu . Dann ist  LT(v) = ∂t2 v-Δv , also  LT=L .

Proof sect:1-8-(1). Hier ist  N=1 ,  M=n . Es ist mit partieller Integration
 
∫
Ω
 v•∇u dLn =
 
∑
i
 
∫
Ω
 vi ∂i u dLn = -
 
∑
i
 
∫
Ω
 (∂i vi)u dLn.
Proof sect:1-8-(2). Hier ist  N=n ,  M=1 . Begründung anlog zu sect:1-8-(1).
Proof sect:1-8-(3). Hier ist  N=M=2 . Dies ergibt sich wie folgt:
L(u) = ∂ conj(z) u=
1
2
 (
1
0
0
1
 ∂1 u +
0
-1
1
0
 ∂2 u ) ,
also
LT(v)
=
-
1
2
 ( ∂1 (
1
0
0
1
 v ) + ∂2 (
0
1
-1
0
 v ) )
=
-
1
2
 (
1
0
0
1
 ∂1 v +
0
1
-1
0
 ∂2 v ) .
Proof sect:1-8-(4). Hier ist  N=M=1 . Es ist mit zweifacher partieller Integration
 
∑
i
 
∫
Ω
 v ∂i2 u dLn =
 
∑
i
 
∫
Ω
 ∂i2 v•u dLn .
Proof sect:1-8-(5). Hier ist  N=M=1 . Analog zu den vorherigen Beweisen.
Proof sect:1-8-(6). Hier ist  N=M=1 . Analog zu den vorherigen Beweisen.

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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