Motivation
Wir haben also gesehen, dass für f ∈C1(Ω;Rn)
lokal eine Lösung
u∈C2(Ω) von ∇u = f existiert genau dann,
wenn ∂j fi = ∂i fj
für i,j=1,...,n .
Nun wollen wir die Frage untersuchen, was sich unter der schwächeren
Voraussetzung f∈C0(Ω;Rn) aussagen lässt.
Wir können nicht mehr die partiellen Ableitungen von f hinschreiben,
da sie im Allgemeinen nicht existieren.
Andererseits, wenn f der Gradient einer C1 -Funktion ist, also
f:=∇v
mit v ∈C1(Ω) ist unsere Differentialgleichung natürlich lösbar.
Wie können wir erkennen, dass f von einem Gradienten herkommt,
ohne v zu kennen?
Die Antwort ist, dass wir die obige notwendige Bedingung für f
im einem schwachen Sinne schreiben.
Falls f̃∈C1(Ω;Rn) mit ∂j f̃i = ∂i f̃j ,
so gilt
für alle ζ∈C0∞(Ω)
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0=
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ζ(∂jf̃i - ∂i f̃j) dLn
=-
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(∂j ζf̃i - ∂i ζf̃j) dLn
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Für ein gegebenes f ∈C0(Ω;Rn) betrachten wir daher für alle
Testfunktionen ζ∈C0∞(Ω) das Integral
Ist nun f=∇v mit v∈C1(Ω) , so ist das Integral
eq:15int:
Daher fassen wir eq:15int
für alle ζ∈C0∞(Ω)
als schwache Version der notwendigen Bedingung an f auf.
Wir wenden diese Idee nun auf allgemeine Differentialoperatoren an, was
uns zum Begriff der Distribution führen wird.
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