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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

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Beispiele    [sect:1-5]
  • [sect:1-5-(1)] Sei  f(x)=Ax  mit einer symmetrischen Matrix  A = (aij)i,j=1,...,n ∈Rn×n . Dann ist  ∂i fj(x)=aij  symmetrisch in  i,j . Die Lösungen von  ∇u = f  auf  Rn  sind
    u(x) = u0 +
     
    ∑
    ij
    1
    2
    		 aijxi xj      mit u0∈R.
  • [sect:1-5-(2)] Sei  n=2 . Wir identifizieren den  R2  mit  C . Sei  Ω= R2∖{0}  und
    f(z) :=
    i 
    conj(z)
    		 =
    i z
     
    |z|2
    		 =
    (-z2,z1)
     
    |z|2
     
    		 ,
    ∂2f1 = ∂z2 ( -
    z2
     
    |z|2
     
    		 ) =
    z22-z12
     
    |z|4
     
    		 = ∂z1 (
    z1
     
    |z|2
     
    		 ) = ∂1f2 .
    Eine Lösung von  ∇u = f  ist gegeben durch  u(r ei θ)=θ  für  θ0 < θ< θ0+2π . Die Lösung existiert also auf jeder aufgeschlitzten komplexen Ebene, d.h.
    Ω= C∖{ r ei θ0 ; r ≧0 } ,
    aber nicht auf  Ω .
  • [sect:1-5-(3)] Sei  n=3 . Dann ist  ∂j fi = ∂i fj  äquivalent zu   rot  f = 0 . Für  Ω  wie in Satz sect:1-4 bedeutet dieser Satz also:

    Jedes wirbelfreie Vektorfeld auf  Ω  besitzt ein Potential.

Proof sect:1-5-(2). Schreibe in Polarkoordinaten  u(r ei θ)=v(r,θ).  Mit Übungsaufgabe aufgabe:2-(a)) ist
∇u(r ei θ)=∂r v(r,θ) er +
1
r
 ∂θ v(r,θ) eθ=
1
r
 eθ =
i 
r
 ei θ =
i z
 
|z|2
 = f(z) .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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