Proof sect:1-4.
Ohne Einschränkung sei Ω zusammenhängend.
Sei x0 ∈Ω und u0 ∈R .
Versuche nun u zu definieren mittels
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u(x) = u0 +
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f(γ(s))•γ′(s) ds
,
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wobei γ : [s0,s1] → Ω
stetig und stückweise differenzierbar sei mit
γ(s0)=x0 , γ(s1)=x .
Wir werden zeigen, dass diese Definition nur von
f,x0,x abhängt (also insbesondere von γ unabhängig ist).
Ist dies geschehen, so fahren wir so fort,
um zu zeigen, dass u Lösung der Differentialgleichung ∇u =f ist:
Sei x∈Ω und e ∈Rn ein Einheitsvektor.
Definiere eine Kurve γe : [0,1+δ] → Ω mittels
Dabei sei γ : [0,1] → Ω irgendeine
stetige und stückweise differenzierbare Abbildung mit
γ(0)=x0 und γ(1)=x
(ggf. auch γ′(1)=e ).
Dann folgt für 0<ε<δ :
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ε
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f(x+rεe) •e dr ,
also folgt |
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für ε → 0 gleichmäßig in e .
Dies beweist, dass u ist in x differenzierbar mit ∇u(x)=f(x) .
Zusätzlich folgt daraus eine
Regularitätsaussage über u :
Es ist u ∈C2(Ω) , da f stetig differenzierbar ist.
Nun zeigen wir die Wohldefiniertheit der Definition von u(x) .
Die Definition ist unabhängig von der Wahl des Intervalls [s0,s1] .
Dies sieht man ein durch Anwenden der Substitutionsregel der
Integralrechnung.
Deshalb betrachten wir nun das Einheitsintervall [0,1] .
Außerdem ist die Definition unabhängig von γ . Um dies zu zeigen
seien γ0,γ1 zwei Kurven mit
γ0(0)=γ1(0)=x0 , γ0(1)=γ1(1)=x . Da nach
Voraussetzung des Satzes alle solche Kurven homotop zueinander sind,
existiert eine stetige Homotopie h : [0,1]×[0,1] → Ω ,
die γ0 in γ1 überführt, d. h. es gilt
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h(t,0) = γ0(t)
und
h(t,1) = γ1(t)
für t∈[0,1].
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Zunächst nehmen wir einschränkend
an, dass h∈C2([0,1]2) . Diese Einschränkung werden wir später
mit einem Faltungsargument rechtfertigen. Sei nun
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ψ(t) :=
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f ∘h (t,s) •∂s h (t,s) ds .
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Um die Unabhängigkeit der Definition in eq:14 von γ zu
zeigen, beweisen wir, dass t |→ ψ(t) konstant ist. Nach dem
Differenzierbarkeitssatz
(siehe
[Analysis III:Differenzierbarkeitssatz]
)
folgt mit
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f ∘h •∂s h =
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fi ∘h ∂s hi ,
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dass
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(
∂t(f ∘h)(t,s) •∂s h (t,s)
+ f ∘h (t,s) •∂t∂s h (t,s)
) ds
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(
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(
| | ) ∘h
∂t hj ∂s hi
+
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fi ∘h
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) (t,s) ds
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( ∂s (fj ∘h) ∂t hj
+ fj ∘h ∂s∂t hj ) (t,s) ds
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wegen h(t,1)=x und h(t,0)=x0 . Es gilt also ψ(0)=ψ(1) .
Dies wollen wir nun verallgemeinern auf stetige Homotopien.
Dazu konstruieren wir eine
stetige Fortsetzung von h und bilden durch Faltung mit einer
Standard-DIRAC-Folge (ϕε)ε>0 die Funktionen
hε:=ϕε ∗ h . Dann wenden wir das Gezeigte auf
hε und [-δ,1+δ]2 an und erhalten
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f(hε(-δ,s)) •∂s hε(-δ,s) ds =
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f(hε(1+δ,s)) •∂s hε(1+δ,s) ds
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Der Grenzübergang ε → 0 auf beiden Seiten liefert dann
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f(γ0(s))•γ0′(s) ds =
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f(γ1(s))•γ1′(s) ds .
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Im Einzelnen argumentiert man wie folgt:
Es ist h : [0,1]2 → R nur stetig.
Setze h auf R2 fort durch
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γ0(s) für t ≦0 und 0 ≦s ≦1, |
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γ1(s) für t ≧1 und 0 ≦s ≦1,
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und definiere hε := ϕε ∗ h . Wähle δ>0 beliebig.
Falls ε klein genug ist, so ist
hε : [-δ,1+δ]2 → Ω
unendlich oft differenzierbar, und es gilt:
hε → h gleichmäßig auf R2
für ε → 0 . Außerdem gilt für kleines ε>0 ,
dass hε(t,s)=x0 für
s < -δ/2 und hε(t,s)=x1 für s < 1+δ/2 .
Also ist hε eine Homotopie wie oben mit Kurvenparameter
s ∈[-δ,1+δ]
und Homotopieparameter t ∈[-δ,1+δ] .
Also kann das bisher Gezeigte angewandt
werden, und es folgt die Identität eq:14stern.
Zu zeigen bleibt, dass
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∂s hε(-δ,·) → Χ]0,1[ γ′0 in
L1(R;Rn), |
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∂s hε(1+δ,·) → Χ]0,1[ γ′1 in
L1(R;Rn). |
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Nun ist nach
[Analysis III:Faltung]
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∂s hε = ∂s(ϕε ∗ h) =
(∂sϕε) ∗ h
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also für t=-δ
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∂s hε(t,s) =
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(
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h(t̃,s̃)ds̃ ) dt̃
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wobei für kleines ε im Integral nur Werte t̃<0 relevant sind,
und dann ist
h(t̃,s̃)=x0 für s̃ ≦0 ,
h(t̃,s̃)=γ0(s̃) für 0 ≦s̃ ≦1
und
h(t̃,s̃)=x1 für s̃ ≧1 . Aufsplitten des inneren
Integrals über
]-∞,0[ , ]0,1[ , ]1,∞[ und partielle Integration ergibt also
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ϕε(t-t̃,s-s̃)
( Χ]0,1[ γ0′)(s̃) ds̃ dt̃ |
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mit
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ψε(s) :=
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ϕε(t-t̃,s) dt̃=
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ϕε(t̃,s) dt̃ .
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Es folgt, dass (ψε)ε>0 eine DIRAC-Folge ist,
und daher
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ψε ∗ ( Χ]0,1[ γ0′)
→ Χ]0,1[ γ0′
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in L1(R;Rn)
nach
[Analysis III:Approximation durch Faltung]
.
Entsprechend für t=1+δ.
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