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Linear differential operators Linear differential operators
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© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

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Dieser Lösungsansatz beruht auf der Annahme, dass  u  zu verschiedenen Zeitpunkten im Wesentlichen die gleiche Gestalt hat, worunter wir verstehen wollen, dass es eine Funktion  y |→ v(y)  gibt mit
u(t,x) = a(t) v(ϱ(t)x)     mit a(t)≠0, ϱ(t)>0 .
(Dies ist wie in sect:1-3-(2) ein Produktansatz, der jedoch allgemeiner ist und keine Separation der Variablen beinhaltet. Er wird häufig benutzt bei nichtlinearen Differentialgleichungen.) Wir betrachen im Folgenden die Wärmeleitungsgleichung auf  Ω=I×Rn , wobei  I⊂R  ein Intervall sei:
L(u) = ∂tu - Δu  ,
und setzen  a ,  ϱ ,  v  als  2 -mal stetig differenzierbar voraus. Für die Ableitungen berechnet man (wir lassen die Argumente weg)
∂tu = a• v + a
n
∑
i=1
 ∂iv xi ϱ•     und    Δu = a ϱ2Δv .
Sei im Folgenden  t>0  und  ϱ(t)=1/ sqrt(t) . (Diese Gestalt von  ϱ  lässt sich herleiten, was wir hier aber nicht ausführen.) Mit der Substitution  y=ϱ(t)x  folgt
a•(t) v(y) -
a(t)
 
2t3/2
  ∇v(y)•x =
a(t)
t
 Δv(y)  ,
also
Δv(y) =
t a•(t)
a(t)
 
 v(y)-
1
2
 y•∇v(y)  .
Wir setzen wieder voraus, dass  u≠0 , also muss  v(y0)≠0  für ein  y0  sein. Betrachten wir die Differentialgleichung zunächst wieder für ein  t=t0>0  und beliebige  y , und dann für  y=y0  und beliebige  t , so folgt mit  λ:=t0a•(t0)/a(t0) , dass
Δv(y) +
1
2
 y•∇v(y)
=
λv(y) ,
a•(t)
=
λ
t
 a(t) .
Die allgemeine Lösung für  a  im Intervall  I=]0,∞[  ist
a(t) = a0 tλ,    mit a0≠0 .
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir im Fall  n=1  die Diffusion einer anfänglichen Sprungverteilung. Z. B. sei in einem Behälter auf der einen Seite kaltes, auf der anderen Seite warmes Wasser durch eine Wand getrennt. Die Lösung  u  der Wärmediffusionsgleichung beschreibt dann die Temperaturausbreitung, wenn diese Trennwand entfernt wird unter der Voraussetzung, dass das Wasser nicht zu strömen beginnt.

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Anfangswerte  u(0,x)   [fig:1-3-1]

Für  t=0  ist also

u(0,x)=
0
für x<0,
1
für x>0,
und für die Lösung muss für  t → 0  gelten:
u(t,x) → 
0
falls x<0,
1
falls x>0.
Sei also
u(t,x) = a0 tλv (
x
sqrt(t)
 ) .
Wir setzen  a0:=1  sowie  λ=0 , da andere Werte von  λ  für  t → 0  die Anfangsbedingung verletzen würden. Dann muss
v(y) → 
0
für y → -∞
1
für y → +∞
sein, und  v′′(y)+y/2v′(y)=0 . Die allgemeine Lösung für  v′  ist deshalb
v′(y) = c e-y2/4     für ein c∈R,
und es folgt
v(y) = c
y
∫
-∞
 e-s2/4 ds ,
wobei  c  so gewählt wird, dass
c
+∞
∫
-∞
 e-s2/4 ds = 1 .
Wie in [Analysis III:Normierung FOURIER-Transformation] folgt  c=(4π)-1/2 . Insgesamt ist also
u(t,x) =
1
sqrt(4π)
x
sqrt(t)
∫
-∞


 e-s2/4 ds .

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Lösung  u(t,x)  für  t>0   [fig:1-3-2]

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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