Sei u∈C2(I×Rn) , wobei I⊂R ein Intervall ist.
Der Wellenansatz besteht in
[eq:13]
u(t,x) = v(x•e-ct) ,
mit e∈Rn∖{0}, c∈R, v∈C2(R)
und einer Funktion y|→ v(y)∈R .
Wir betrachten speziell die Wellengleichung
L(u) = ∂t2u - Δu = 0
.
Der Wellenansatz eq:13
ergibt dann (ohne die Argumente hinzuschreiben)
∂tu = -c v′ , ∂xiu = ei v′ , ∂xi2u = ei2v′′ ,
∂t2u = c2 v′′ , Δu =
n
∑
i=1
ei2 v′′ = |e|2 v′′
.
[eq:13-l]
L(u) = (c2 - |e|2) v′′
.
Im speziellen Fall, dass v affin linear ist,
gilt eq:13-l mit beliebigem c und e .
Ist andererseits v′′(y0)≠0 für ein y0∈R ,
so ist eq:13-l äquivalent zu
