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Traveling waves Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Separation of variables

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Wir betrachten die durch den Wärmeleitungsoperator gegebene homogene Gleichung
L(u) = ∂tu - Δu = 0 .
Sei  u∈C2(R×D) ,  D⊂Rn  offen. Weiter setzen wir  u≠0  voraus. Aus dem Ansatz (ein Produktansatz mit einer Separation der Variablen)
u(t,x) = w(t) v(x)
folgt
w′(t) v(x) = w(t) Δv(x) .
Sei nun  (t0,x0)∈R×D  mit  u(t0,x0)≠0 . Indem wir die Differentialgleichung zunächst für  x=x0 , und beliebige  t , und dann für  t=t0  und beliebige  x  hinschreiben, erhalten wir
w′(t)
=
λw(t) ,
Δv(x)
=
λv(x) ,
wobei
λ:=
Δv (x0)
 
v(x0)
 
 =
w′(t0)
 
w(t0)
 
 .
Die allgemeine Lösung für  w  lässt sich nun leicht angeben:
w(t) = w0eλt .
Eine Lösung für  v  kann z.B. wieder mit dem Produktansatz gefunden werden (siehe Übungsaufgabe aufgabe:4):
v(x) = v1(x1)...vn(xn) .
Im Fall  n=1  lautet die Differentialgleichung für  v 
[eq:13]
v′′ = λv .
Beispiel: Sei  D:=]-l/2,l/2[ . Dann ist Gleichung eq:13 erfüllt für
v(x) := v0  cos (
π
l
 x )  ,
wenn  λ:=- ( π/l ) 2 . Als Lösung  u  der Differentialgleichung zum Operator  L  ergibt sich
u(t,x) = u0e- ( π/l ) 2t  cos (
π
l
 x ) ,     wobei u0 := w0 v0 .
Es ist  u(t,x)=0  für  x∈∂D  und für  t → ∞  fällt  u  exponentiell, da  λ< 0 . Eine andere Lösung ergibt sich aus
v(x) := v0 eμ x .
Hier ist  λ=μ2≧0  in eq:13. Im Fall  μ≠0  wächst  u  exponentiell an für  t → ∞ .
Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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