Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis IV -- Polynomial solutions

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Linear differential operators

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Polynomial solutions

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Sei L wie in sect:1-1 mit konstanten Koeffizienten, also

L(u)(x) =

∑

|α|≦m

a_α∂^αu(x) .

Wir suchen eine Lösung u der Form

u(x) :=

∑

|β|≦k

(x-x₀)^β

β!

b_β mit Koeffizienten b_β ∈R^N

und x₀∈Rⁿ . Dann gilt für die Ableitungen (unter Benutzung von eq:11-derivative)

∂^αu(x) =

∑

α≦β

(x-x₀)^β-α

(β-α)!

b_β , wobei b_β:=0 für |β|>k .

Damit folgt

0 = L(u)(x) =

∑

α≦β

(x-x₀)^β-α

(β-α)!

a_αb_β , wobei a_α:=0 für |α|>m .

Mit der Substitution β↝α+γ erhält man

0 =

∑

γ≧0

(x-x₀)^γ

γ!

∑

a_αb_α+γ .

Damit folgt, da die Polynome ^{(x-x₀)^γ}/_γ! linear unabhängig sind (siehe Bemerkung 1 zu sect:1-1)

∑

a_αb_α+γ = 0 für alle γ≧0 .

Damit haben wir eine notwendige Bedingung für die Lösbarkeit der homogenen Differentialgleichung durch Polynome in Form eines linearen Gleichungssystems für die Koeffizienten (b_β)_β≧0 des Polynoms.

Beispiel: Sei L=Δ , d. h. in sect:1-1 ist N=1 , M=1 und

a_α=

falls α=2e_i, i=1,...,n,

sonst.

Dann lautet die Bedingung

∑

i=1

b_{γ+2e_i} = 0 für alle γ≧0 .

Wir betrachten speziell den Fall n=2 und ein homogenes Polynom vom Grad k , d. h.

u(x) =

∑

j=0

c_j

x₁^jx₂^k-j

j!(k-j)!

, d.h. b_β=

c_j

für β=(j,k-j) ,

sonst.

Für k=0,1 gibt es keine Bedingung an die c_j (jede konstante und jede lineare Funktion ist harmonisch). Sei k≧2 . Dann muss für 0≦j≦k-2 gelten:

c_j+c_j+2= 0 .

Wählt man c₀ , c₁ beliebig, so sind dadurch die c₂,...,c_k bestimmt.

Im Fall k=2 ist

u(x) = c₀ (

x₂²

x₁²

) + c₁x₁x₂ .

Im Fall k=3 ist

u(x) = c₀ (

x₂³

x₁²x₂

) + c₁ (

x₁x₂²

x₁³

) .

Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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