Weak solution [aufgabe:14]
Sei a : R → R gegeben,
so dass r |→ r·a(r) messbar und beschränkt
ist. Betrachte das durch
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q(rei θ):=a(r) i ei θ
für r>0, θ∈R |
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gegebene Vektorfeld q : R2∖{0} → R2 .
- [aufgabe:14-(a)]
Zeige: q∈L1loc(R2∖{0};R2) und div [q]=0 .
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Hinweis:
Verwende dazu den Transformationssatz für Polarkoordinaten und
Aufgabe aufgabe:2-(a) zur Darstellung des Gradienten in
Polarkoordinaten.
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- [aufgabe:14-(b)]
Sei I:=]0,∞[ und ϱ∈R , ϱ>0 .
Zeige: Es existiert ein "Druck" p∈L1loc(R2∖{0};R)
mit p(r ei θ)=b(r) , so
dass für k=1,2 die Differentialgleichung
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div | [ |
| | qk q+p ek | ] | =0
in D'(R2∖{0})
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erfüllt ist.
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Hinweis:
Zeige, dass b die Gleichung
mit f(r):=a2(r)/ϱr für r∈I erfüllt
und gib mit Hilfe der Integraldarstellung für
den Operator L(u):=u′ (vgl. Satz sect:2-4 der
Vorlesung ) eine entprechende Darstellung für p an.
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