Exercise 5 (Radial symmetric solutions) Exercise 5 (Radial symmetric solutions)
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Exercise 7 (Stream function) Index
© 2002-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Exercise 6 (Transposed operator)

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Transposed operator    [aufgabe:6]
Sei  Ω⊂Rn  und es bezeichne
L : Cm(Ω;RN) → C0(Ω;RM)
einen allgemeinen Differentialoperator der Ordnung  m .
  • [aufgabe:6-(a)] Für  m=2  und  N=M=3  sei  L  gegeben durch
    L(u)= rot ( rot u) .
    Zeige:  LT=L .
    Hinweis: Zeige hierzu, dass für zwei Vektorfelder  u∈C2(Ω;R3)  und  v∈C02(Ω;R3)  gilt:
     
    ∫
    Ω
    		 rot u· rot v dL3 =
     
    ∫
    Ω
    		 rot ( rot u)·v dL3.
  • [aufgabe:6-(b)] Für  m=1,N=n  und  M=n×n  sei  L  gegeben durch
    L(u) = (∂j ui-∂i uj)i,j=1,...,n  .
    Zeige:
    LT(v)=-2  div (vA),
    wobei wir für eine Matrix  B=(bik)i,k=1,...,n  mit  BA  den antisymmetrischen Anteil von  B  bezeichnen und ferner definieren:
    div B:= (
    n
    ∑
    k=1
    ∂bik
     
    ∂xk
     
    		 ) i=1,...,n.
Bemerkung: Zur Definition des transponierten Operators siehe sect:1-6 der Vorlesung.
Version 1.5
H.W. Alt - 02.01.2007

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