Functional Analysis

Integralgleichungen

Sommersemester 2015
Hauptseminar Funktionalanalysis S2B1
Dr. M. Helmers, Dr. M. Zaal

 

Mittwoch 14–16 Uhr, Raum 1.008

Inhalt

Integralgleichungen sind – neben Differentialgleichungen – eines der wichtigsten mathematischen Instrumente zur Untersuchung von Problemen in Naturwissenschaft und Technik; oft treten beide Arten von Gleichungen zusammen auf. Ein Beispiel dafür ist die gewöhnliche Differentialgleichung \(y'(t)=f(t,y(t))\) mit Anfangsdaten \(y(0)=\lambda\), welche sich durch Integration und Fixpunktiteration der zugehörigen Integralgleichung \[y(t) = \lambda + \int_0^t f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t\] lösen lässt (Picard-Lindelöf). Ein anderes Beispiel ist die Umkehrung von Integraltransformationen, etwa das Auffinden einer Funktion \(u\) mit gegebener Fourier-Transformation \(\widehat u\) durch Lösen der Integralgleichung \[\int_{\mathbb{R}^n} u(y) e^{-\mathrm{i} x \cdot y} \,\mathrm{d}y = \widehat u(x).\]

Im Seminar befassen wir uns mit der mathematischen Theorie von Integralgleichungen und ihrer Anwendung auf konkrete Beispiele. Dies beinhaltet im wesentlichen

  • die Klassifikation von Integralgleichungen – man beachte zum Beispiel den Unterschied zwischen variablem und festem Integrationsbereich oben;

  •  Lösung bzw. Existenz von Lösungen mit Hilfe verschiedener Methoden wie zum Beispiel Transformation, Approximation, Projektion oder Fredholm-Theorie;

  • Anwendung auf gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Schwerpunkt sind lineare Integralgleichungen, nichtlineare Probleme werden am Rande behandelt.

Organisation

Das Seminar findet mittwochs 14–16 Uhr in Raum 1.008 statt. Der vorläufige Vortragsplan ist:

DatumVortragsthemaVortragende(r)Betreuer
22.04.EinführungS. S.M. H.
06.05.Existenz durch Fixpunkt-IterationT. W.M. Z.
13.05.Kompakte selbstadjungierte IntegraloperatorenM. K.M. H.
03.06.Fredholm-Gleichungen, Fredholm-AlternativeL. J. C.M. H.
17.06.Fourier-TransformationG. C.M. Z.
01.07.Laplace-TransformationM. M.M. Z.

Literatur

H. Hochstadt. Integral Equations. John Wiley & Sons, New York, 1973.

Voraussetzungen

Analysis I–III, Lineare Algebra I und II.

News

Prof. Dr. Lisa Sauermann has been honored with the von Kaven Award 2023 for her outstanding scientific achievements. (16.11.2023)

Prof. Dr. Angkana Rüland has been awarded a New Horizons in Mathematics Prize 2024 for her contributions to applied analysis:
https://www.hcm.uni-bonn.de/hcm-news/angkana-rueland-to-receive-illustrious-new-horizons-prize/
(14.09.2023)

Prof. Dr. Angkana Rüland has been awarded the Calderon Prize that is awarded every two years by the Inverse Problems International Association: https://www.hcm.uni-bonn.de/hcm-news/calderon-prize-for-angkana-rueland/ (06.09.2023)

Prof. Dr. Karl-Theodor Sturm has been elected into the Academia Europaea. (28.06.2022)

Florian Schweiger erhielt den Hausdorff-Gedächtnispreis 2021 der Fachgruppe Mathematik für die beste Dissertation. Er fertigte die Dissertation unter der Betreuung von Prof. Stefan Müller an. Unter anderen wurde Vanessa Ryborz mit einem Preis der Bonner Mathematischen Gesellschaft für ihre von Prof. Sergio Conti betreute Bachelorarbeit ausgezeichnet. (18.01.2022)

Prof. Dr. Sergio Albeverio has been elected into the Academia Europaea and the Accademia Nazionale dei Lincei (more; 02.12.2021).

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